Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/52

Эта страница была вычитана

40. Теорема 14-я той же книги доставляетъ очень простое рѣшеніе задачи: «по даннымъ двумъ сопряженнымъ діаметрамъ эллипса опредѣлить величину и направленіе главныхъ осей». Паппъ даетъ построеніе этой задачи, но безъ доказательства. Доказательство было возстановлено Эйлеромъ, который показалъ кромѣ того много другихъ рѣшеній той же задачи (Novi Commentarii Petropol. t. III. 1750—1751). Другіе геометры рѣшали ту же задачу различными способами.

Рѣшивъ соотвѣтствующую задачу въ пространствѣ, т. е. задачу объ нахожденіи главныхъ осей эллиисоида по тремъ даннымъ сопряженнымъ діаметрамъ, мы изъ нея извлекли новое построеніе осей эллипса, которое, кажется, превосходитъ всѣ степени простоты, уже достигнутыя во многихъ прежнихъ рѣшеніяхъ^[1]. Вообще при изученіи геометріи мы часто имѣемъ случай замѣтить, что рѣшенія плоской геометріи, имѣющія себѣ соотвѣтственныя въ пространствѣ, всегда бываютъ самыя общія и простыя. Этотъ принципъ можетъ до извѣстной степени служить испытаніемъ и признакомъ того, достигли ли мы всевозможной общности и полноты рѣшенія; или, другими словами, попали ли мы на тотъ способъ, или путь, который прямо соотвѣтствуетъ вопросу.

Прибавленіе. Первое предложеніе IV-й книги Математическаго Собранія Паппа есть общее свойство треугольниковъ, которое авторъ представляетъ, какъ обобщеніе теоремы о квадратѣ гипотенузы прямоугольнаго треугольника. До сихъ поръ еще не было замѣчено, что это предложеніе есть ничто иное, только въ другой формѣ, какъ свойство параллелограммовъ, которое составляетъ въ механикѣ основаніе теоріи моментовъ; это свойство было открыто только въ началѣ послѣдняго столѣтія Вариньономъ, который представилъ его также какъ «нѣчто подобное 47-теоремѣ первой книги элементовъ Евклида (теоремѣ о квадратѣ гипотенузы)» и изложилъ его такимъ образомъ:

↑ Пусть $o$ будетъ центръ эллипса, $oa$ и $ob$ половины данныхъ сопряженныхъ діаметровъ; черезъ $a$ проведемъ перпендикуляръ къ $ob$ и отложимъ на немъ отрѣзки $ae$ и $ae_{1}$ , равные $ob$ ; потомъ проведемъ прямыя $oe$ и $oe_{1}$ : главныя оси эллипса дѣлятъ уголъ между этими прямыми и уголъ дополнительный пополамъ; большая ось равна полусуммѣ этихъ прямыхъ, а малая — ихъ полуразности.

[1] Пусть $o$ будетъ центръ эллипса, $oa$ и $ob$ половины данныхъ сопряженныхъ діаметровъ; черезъ $a$ проведемъ перпендикуляръ къ $ob$ и отложимъ на немъ отрѣзки $ae$ и $ae_{1}$ , равные $ob$ ; потомъ проведемъ прямыя $oe$ и $oe_{1}$ : главныя оси эллипса дѣлятъ уголъ между этими прямыми и уголъ дополнительный пополамъ; большая ось равна полусуммѣ этихъ прямыхъ, а малая — ихъ полуразности.

[1]