Первый способъ, теорема 28. «Начертимъ винтовую линію на прямомъ кругломъ цилиндрѣ: перпендикуляры, опущенные изъ точекъ этой кривой на ось цилиндра, образуютъ винтообразную поверхность. Если проведемъ черезъ одинъ изъ такихъ перпендикуляровъ плоскость подъ нѣкоторымъ угломъ къ основанію цилиндра, то она пересѣчетъ винтовую поверхность по кривой, прямоугольное положеніе которой на плоскость основанія цилиндра будетъ квадратрикса.»
Второй способъ, теорема 29. «Примемъ Архимедову спираль за основаніе прямаго цилиндра и представимъ себѣ конусъ вращенія, имѣющій осью ту образующую цилиндра, которая проходитъ черезъ начало спирали; этотъ конусъ пересѣчется съ поверхностію цилиндра по кривой двоякой кривизны.[1] Перпендикуляры, опущенные изъ точекъ этой кривой на вышесказанную образующую цилиндра, составляютъ винтообразную поверхность (въ этомъ именно мѣстѣ Паппъ называетъ ее плектоидой). Плоскость, проведенная подъ извѣстнымъ наклоненіемъ черезъ одинъ изъ перпендикуляровъ, пересѣкаетъ поверхность по кривой, прямоугольное проложеніе которой на плоскость спирали есть квадратрикса.»
Оба построенія состоятъ въ томъ, что винтовая поверхность пересѣкается плоскостію, проходящею черезъ образующую, и послѣ того сѣченіе пролагается на плоскость перпендикулярную къ оси винта. Въ первомъ построеніи винтовая поверхность получается при помощи винтовой линіи, черезъ которую проводятся образующія этой поверхности; во второмъ — образующія опредѣляются по
- ↑ Это есть коническая винтовая линія, принадлежащая къ числу извѣстныхъ древнимъ линій двоякой кривизны. Проклъ говоритъ объ ней въ комментаріѣ къ 4-му опредѣленію первой книги Евклида. Въ новое время многіе геометры занимались этою кривою, въ особенности Паскаль (De la dimension d’un solide formé par le moyen d’une spirale autour d’un cone; oeuvres de Pascal, tome V, p. 422.) и Гвидо-Гранди (Epistola ad Th. Cevani; oeuvres posthumes d’Huygens, tome II.). Варшавскій профессоръ Грабинскій нѣсколько лѣтъ тому назадъ далъ графическое построеніе касательныхъ къ конической спирали (Annales de mathématiques, t. XVI, p. 167 et 376).
