Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/284

работу, теперь же сообщаемъ заранѣе первые результаты, выражая при этомъ искреннее желаніе, чтобы положенное нами начало привлекло вниманіе геометровъ и вызвало новыя работы объ этомъ предметѣ.

49. Есть еще другой вопросъ, отъ котораго также зависятъ будущіе успѣхи теоріи поверхностей втораго порядка и важность котораго была оцѣнена Брюссельскою Академіей. Это — аналогія, которая должна существовать между нѣкоторымъ еще неизвѣстнымъ свойствомъ этихъ поверхностей и знаменитою теоремою Паскаля въ коническихъ сѣченіяхъ^[1].

Эта теорема, независимо отъ различныхъ преобразованій, къ которымъ она способна, и понимаемая единственно со стороны свойственныхъ ей формы и изложенія, можетъ быть разсматриваема съ двухъ различныхъ точекъ зрѣнія. На нее можно смотрѣть, какъ на общее и постоянное соотношеніе между шестью произвольными точками коническаго сѣченія, т.-е. числомъ на единицу большимъ того, какое нужно для опредѣленія кривой; или же — какъ на общее свойство коническаго сѣченія относительно треугольника, произвольно помѣщеннаго въ плоскости кривой^[2].

Вслѣдствіе этого въ пространствѣ можно двоякимъ образомъ представлять себѣ аналогію съ теоремой Паскаля.

Съ первой точки зрѣнія это будетъ общее свойство десяти точекъ поверхности втораго порядка, т.-е. числа на единицу большаго, чѣмъ то, которое нужно для опредѣленія поверхности; со второй же точки зрѣнія это будетъ общее свойство, вытекающее изъ сопоставленія поверхности втораго порядка съ тетраэдромъ какъ угодно помѣщеннымъ въ пространствѣ.

1. То, что мы говоромъ о теоремѣ Паскаля, относится также и къ теоремѣ Бріаншона, которая въ теоріи коническихъ сѣченій играетъ точно такую же роль.
2. Такой треугольникъ образуется напримѣръ сторонами нечетнаго порядка въ треугольникѣ Паскалевой теоремы и тогда теорема эта выражаетъ, что три хорды коническаго сѣченія, опредѣляемыя тремя углами треугольника, встрѣчаютъ соотвѣтственно три противоположныя стороны въ трехъ точкахъ, лежащихъ на одной прямой.

Тот же текст в современной орфографии

работу, теперь же сообщаем заранее первые результаты, выражая при этом искреннее желание, чтобы положенное нами начало привлекло внимание геометров и вызвало новые работы об этом предмете.

49. Есть еще другой вопрос, от которого также зависят будущие успехи теории поверхностей второго порядка и важность которого была оценена Брюссельскою Академией. Это — аналогия, которая должна существовать между некоторым еще неизвестным свойством этих поверхностей и знаменитою теоремою Паскаля в конических сечениях^[1].

Эта теорема, независимо от различных преобразований, к которым она способна, и понимаемая единственно со стороны свойственных ей формы и изложения, может быть рассматриваема с двух различных точек зрения. На нее можно смотреть, как на общее и постоянное соотношение между шестью произвольными точками конического сечения, т. е. числом на единицу большим того, какое нужно для определения кривой; или же — как на общее свойство конического сечения относительно треугольника, произвольно помещенного в плоскости кривой^[2].

Вследствие этого в пространстве можно двояким образом представлять себе аналогию с теоремой Паскаля.

С первой точки зрения это будет общее свойство десяти точек поверхности второго порядка, т. е. числа на единицу большего, чем то, которое нужно для определения поверхности; со второй же точки зрения это будет общее свойство, вытекающее из сопоставления поверхности второго порядка с тетраэдром как угодно помещенным в пространстве.

1. То, что мы говором о теореме Паскаля, относится также и к теореме Брианшона, которая в теории конических сечений играет точно такую же роль.
2. Такой треугольник образуется например сторонами нечетного порядка в треугольнике Паскалевой теоремы и тогда теорема эта выражает, что три хорды конического сечения, определяемые тремя углами треугольника, встречают соответственно три противоположные стороны в трех точках, лежащих на одной прямой.