Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/208

Почти всѣ пятьдесятъ теоремъ Стеварта могутъ быть включены въ слѣдующія четыре болѣе общія предложенія, изъ которыхъ всѣ другія вытекаютъ, какъ слѣдствія.
[Начало цитаты]
1. Положимъ, что около круга радіуса $R$ описанъ правильный многоугольникъ, имѣющій $m$ сторонъ и пусть $n$ будетъ число меньшее $m$.

Если изъ какой нибудь точки (взятой внутри многоугольника, если $n$ нечетное, и гдѣ угодно, если $n$ четное) опустимъ перпендикуляры на стороны многоугольника, то сумма $n$-ыхъ степеней ихъ будетъ равна

$m.(R^{n}+Av^{2}R^{n-2}+Bv^{4}R^{n-4}+Cv^{6}R^{n-6}+\dots )$,

гдѣ $v$ есть разстояніе точки отъ центра круга; $A$ есть коэффиціентъ третьяго члена бинома, возвышеннаго въ степень $n$, умноженный на ${\tfrac {1}{2}}$; $B$ — коэффиціентъ пятаго члена, умноженный на ${\tfrac {1.3}{2.4}}$; $C$ — коэффиціентъ седьмаго члена, умноженный на ${\frac {1.3.5}{2.4.6}}$; и. т. д. (Предл. 40).
[Конец цитаты]
Такимъ образомъ:

$A={\frac {n(n-1)}{2^{2}}}$,

Тот же текст в современной орфографии

Почти все пятьдесят теорем Стюарта могут быть включены в следующие четыре более общие предложения, из которых все другие вытекают, как следствия.
[Начало цитаты]
1. Положим, что около круга радиуса $R$ описан правильный многоугольник, имеющий $m$ сторон и пусть $n$ будет число меньшее $m$.

Если из какой нибудь точки (взятой внутри многоугольника, если $n$ нечетное, и где угодно, если $n$ четное) опустим перпендикуляры на стороны многоугольника, то сумма $n$-ых степеней их будет равна

$m.(R^{n}+Av^{2}R^{n-2}+Bv^{4}R^{n-4}+Cv^{6}R^{n-6}+\dots )$,

где $v$ есть расстояние точки от центра круга; $A$ есть коэффициент третьего члена бинома, возвышенного в степень $n$, умноженный на ${\tfrac {1}{2}}$; $B$ — коэффициент пятого члена, умноженный на ${\tfrac {1.3}{2.4}}$; $C$ — коэффициент седьмого члена, умноженный на ${\frac {1.3.5}{2.4.6}}$; и. т. д. (Предл. 40).
[Конец цитаты]
Таким образом:

$A={\frac {n(n-1)}{2^{2}}}$,