Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/29

$$d.arc\ tang\ x={\frac {dx}{1+x^{2}}},\ \ d.arc\ cot\ x=-{\frac {dx}{1+x^{2}}};$$ $$d.\sec x={\frac {\sin x.dx}{\cos ^{2}x}},\ \ d.cosec\ x=-{\frac {\cos xdx}{\sin ^{2}x}};$$

В сихъ дифференціалахъ количеству $x$ можно приписывать только тѣ велечины, для коихъ, в предѣидущемъ урокѣ, мы опредѣлили производныя функціи соотвѣтствующія симъ дифференціаламъ.

А посему, простыя функціи, коихъ дифференціалы мы нашли для всѣхъ вещественныхъ величинъ $x$, суть слѣдующія,

$$a+x,\ a-x,\ ax,{\frac {a}{x}},\ A^{x},e^{x},\sin x,\cos x$$

къ нимъ можно прибавить и функцію $x^{a}$, когда количество $a$ будетъ или цѣлое число или дробь съ нечетнымъ знаменателемъ. Что же касается до дифференціаловъ простыхъ функцій $\arcsin x,\ \arccos x,\ L(x),\ l(x)$, то въ двухъ первыхъ величина $x$ должна заключаться между предѣлами $+1$ и $-1$, а в двухъ послѣднихъ между предѣлами $0$ и $\inf$; между сими послѣдними предѣлами должна заключаться таже величина $x$ въ дифференціалѣ функціи $x^{a}$, ежели численная величина количества $a$ будетъ дробь съ четнымъ знаменателемъ или ирраціональное число.

Сообразно съ сказаннымъ нами въ I части du Cours d'Analyse, мы будемъ употреблять знакоположенія $\arcsin x,\arccos x,arc\ tang\ x,arc\ cot\ x,arc\ sec\ x,arc\ cosec\ x$, для означенія наименьшей изъ дугъ, соотвѣтствующихъ тригонометрической линіи $x$; ежели же случится, что одной и той же тригонометрической величинѣ будутъ соотвѣтствовать двѣ равныя дуги, одна положительная, а другая отрицательная, то предѣидущія знакоположенія будутъ означать положительную дугу: изъ сего слѣдуетъ, что $\arcsin x,\ arc\ tang\ x,\ arc\ cot\ x,\ arc\ cosec\ x$, суть дуги, заключающіяся ме