Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/27

УРОКЪ ЧЕТВЕРТЫЙ.

Дифференцированіе функцій одной перемѣнной.

Пусть будутъ $y=f(x)$ функція измѣняемой $x$, $i$ безконечно-малое количество, и $h$ конечная величина. Полагая $i=ah$, гдѣ $a$ будетъ также безконечно-малое количество, получимъ

$${\frac {f(x+i)-f(x)}{i}}={\frac {f(x+ah)-f(x)}{ah}},$$

откуда произойдетъ

$${\frac {f(x+ah)-f(x)}{a}}={\frac {f(x+i)-f(x)}{i}}h.$$

(1.)

Предѣлъ, къ которому приближается первая часть уравненія (1), между тѣмъ, какъ $a$ приближается къ нулю, а количество $h$ остается постояннымъ, называется дифференціаломъ функціи $y=f(x)$. Сей дифференціалъ означаютъ буквою $d$, слѣдующимъ образомъ:

$dy{\text{ или }}df(x).$

Зная величину производной функціи $y'$ или $f'(x)$, легко найти оные дифференціалы. И дѣствительно, взявъ предѣлы обѣихъ частей уравненія (1), найдется

$$df(x)=hf'(x).$$

(2.)

Въ частномъ случаѣ, когда $f(x)=x$, уравненіе (2) даетъ

$$dx=h.$$

(3.)

И такъ дифференціалъ перемѣнной независимой $x$, равняется постоянному количеству $h$. Уравненіе (2) можно замѣнить слѣдующимъ