Замѣтимъ, что производныя функціи сложныхъ количествъ опредѣляются иногда съ такою же удобностію, какъ и производныя функціи простыхъ количествъ. Такъ, на примѣръ, находимъ
полагая
y
=
tang
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle y={\text{tang }}x={\frac {\sin x}{\cos x}}}
,
Δ
y
Δ
x
=
1
i
(
sin
(
x
+
i
)
cos
(
x
+
i
)
−
sin
x
cos
x
)
=
sin
i
i
cos
x
cos
(
x
+
i
)
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {1}{i}}({\frac {\sin(x+i)}{\cos(x+i)}}-{\frac {\sin x}{\cos x}})={\frac {\sin i}{i\cos x\cos(x+i)}}}
,
y
′
=
1
cos
2
x
{\displaystyle y'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}
;
полагая
y
=
cot
x
=
cos
x
sin
x
{\displaystyle y=\cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}}
,
Δ
y
Δ
x
=
1
i
(
cos
(
x
+
i
)
sin
(
x
+
i
)
−
cos
x
sin
x
)
=
sin
i
i
sin
x
sin
(
x
+
i
)
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {1}{i}}({\frac {\cos(x+i)}{\sin(x+i)}}-{\frac {\cos x}{\sin x}})={\frac {\sin i}{i\sin x\sin(x+i)}}}
,
y
′
=
−
1
sin
2
x
{\displaystyle y'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}
;
изъ сего выводимъ
полагая
y
=
arc tang
x
{\displaystyle y={\text{arc tang }}x}
,
tang
y
=
x
{\displaystyle {\text{tang }}y=x}
,
y
′
cos
2
y
=
i
{\displaystyle {\frac {y'}{\cos ^{2}y}}=i}
,
y
′
=
cos
2
y
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle y'=\cos ^{2}y={\frac {1}{1+x^{2}}}}
;
полагая
y
=
arc cot x
{\displaystyle y={\text{arc cot x}}}
,
cot
y
=
x
{\displaystyle \cot y=x}
,
−
y
′
sin
2
y
=
I
{\displaystyle {\frac {-y'}{\sin ^{2}y}}=I}
,
y
′
=
−
sin
2
y
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle y'=-\sin ^{2}y={\frac {-1}{1+x^{2}}}}
;