Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/25

$$z=F(y),$$

(2.)

гдѣ $z$ или $F(fx)$ называется функціею отъ функціи перемѣнной $x$; означивъ чрезъ $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$, безконечно-малыя и одновременныя приращенія трехъ перемѣнных $x$, $y$, $z$, найдемъ

$${\frac {\Delta z}{\Delta x}}={\frac {F(y+\Delta y)-F(y)}{\Delta x}}={\frac {F(y+\Delta y)-F(y)}{\Delta y}}.{\frac {\Delta y}{\Delta x}},$$

потомъ, переходя къ предѣламъ,

$$z'=y'.F'(y)=f'(x).F'(fx).$$

(3.)

На примѣръ, полагая $z=ay$, а $y=l(x)$, получимъ $z'=ay'={\frac {a}{x}}$. Помощію формулы (3) легко опредѣлятся производныя функціи выраженій $A^{x}$, $x^{a}$, $\arcsin x$, $\arccos x$, предполагая извѣстными производныя функціи количествъ $L(x)$, $\cos x$, $\sin x$. И дѣйствительно, найдется

полагая $y=A^{x}$, $L(y)=x$, $y'{\frac {L(e)}{y}}=I$, $y'={\frac {y}{L(e)}}=A^{x}l(A)$;

полагая $y=x^{a}$, $l(y)=al(x)$, $y'{\frac {1}{y}}={\frac {a}{x}}$, $y'=a{\frac {y}{x}}=ax^{a-I}$;

полагая $y=\arcsin x$, $\sin y=x$, $y'\cos y=I$, $y'={\frac {1}{\cos y}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$;

полагая $y=\arccos x$, $\cos y=x$, $-y'\sin y=I$, $y'={\frac {-1}{\sin y}}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Сверъ того, производныя функціи сложныхъ количествъ

$$A^{y},\ e^{y},\ {\frac {1}{y}}$$

будучи соотвѣстственно, въ слѣдствіе формулы (3),

$$y'A^{y}l(A),\ y'e^{y},\ -{\frac {y'}{y^{2}}},$$

то производныя слѣдующихъ функцій

$$A^{B^{x}},e^{e^{x}},\ \sec x={\frac {1}{\cos x}},\ {\text{cosec }}x={\frac {1}{\sin x}}$$

будутъ

$$A^{B^{x}}B^{x}l(A)l(B),\ e^{e^{x}}e^{x},\ {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.$$