Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/24

Сверхъ того, полагая $i=ax,$ $A^{I}=I+\beta$ и $(I+\alpha )^{\alpha }=I+\gamma$, найдется

полагая $x=L(x)$, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {L(x+i)-L(x)}{i}}={\frac {L(1+\alpha )}{ax}}={\frac {L(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}}{x}}$, $y'={\frac {L(e)}{x}}$;

полагая $y=A^{x}$, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {A^{x+i}-A^{x}}{i}}={\frac {A^{i}-1}{i}}A^{x}={\frac {A^{x}}{L(1+\beta )^{\frac {1}{\beta }}}}$, $y'={\frac {A^{x}}{L(e)}}$;

полагая $y=x^{a}$, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {(x+i)^{\alpha }-x^{\alpha }}{i}}={\frac {(1+\alpha )^{\alpha }-1}{\alpha }}x^{\alpha -I}={\frac {L(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}}{L(1+\gamma )^{\frac {1}{\gamma }}}}ax^{a-I}$, $y'=ax^{a-I}$

Въ сихъ послѣднихъ формулахъ, буква $e$ означаетъ число $2{,}718218...$, которое служитъ предѣломъ выраженію $(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}$. Принявъ сіе число за основаніе системы логариѳмовъ, получимъ Неперовы или гиперболическіе логариѳмы, которые впредъ будемъ означать всегда буквою $l$. И такъ, очевидно, что $l(e)=I,$

$$Le={\frac {Le}{LA}}={\frac {le}{lA}}={\frac {1}{lA}};$$

и сверхъ того найдется

полагая $x=l(x),y'={\frac {1}{x}}$, полагая $y=e^{x},y'=e^{x}$.

Предъидущія формулы выведены только для величинъ $x$, коимъ соотвѣтствуютъ вещественныя величины $y$; а посему должно, чтобы въ выраженіяхъ $L(x)$, $l(x)$, величина $x$ была положительная, равнымъ образомъ и въ функціи $x^{a}$, когда $a$ означаетъ дробь съ четнымъ знаменателемъ, или ирраціональное число.

Теперь пусть будетъ $z$ другая функція $x$, сопряженная съ первою $y=f(x)$ формулою