Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/23

будетъ зависѣть отъ предложенной функціи $y=f(x)$. Для означенія сей зависимости, даютъ обыкновенно предѣлу сего отношенія названіе производной функціи, которая и означается чрезъ знакоположеніе

$$y'{\text{ или }}f'(x).$$

При изысканіи производныхъ функцій выраженія $f(x)$, должно различать функціи называемыя простыми, и которыя изображаютъ одно какое нибудь дѣйствіе произведенное надъ сею перемѣнною, отъ тѣхъ функцій, кои выводимъ посредствомъ многихъ дѣйствій и которыя посему именуются сложными. Простыя функціи произходящія отъ алгебраическихъ и пригонометрическихъ дѣйствій (Смотри I часть du Cours d'Analyse, Гл. I.), могутъ быть приведены къ слѣдующимъ

$$a+x,a-x,ax,{\frac {a}{x}},x^{a},A^{x},L(x),$$ $$\sin x,\cos x,\arcsin x,\arccos x,$$

гдѣ $A$ есть постоянное число, $a=\pm A$ постоянное же количество, а буква $L$ означаетъ логариѳмъ взятой въ той системѣ, коей основаніе есть $A$. Полагая величину $y$ равною одной ихъ сихъ простыхъ функцій, вообще легко будетъ получить производную $y'$. Такимъ образом найдется,

полагая $y=a+x$, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {(a+x+i)-(a+x)}{i}}=1$, $y'=1$;

полагая $y=a-x$, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {(a-x-i)-(a-x)}{i}}=-1$, $y'=-1$;

полагая $y=ax$, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {a(x+i)-ax}{i}}=a$, $y'=a$;

полагая $y={\frac {a}{x}}$, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\frac {a}{x+i}}-{\frac {a}{x}}}{i}}={\frac {a}{x(x+i)}}$, $y'={\frac {a}{x^{2}}}$;

полагая $y=\sin x$, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\sin {\frac {1}{2}}{i}}{{\frac {1}{2}}i}}\cos(x+{\frac {1}{2}}i)$, $y'=\cos x=\sin(x+{\frac {\pi }{2}})$;

полагая $y=\cos x$, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=-{\frac {\sin {\frac {1}{2}}{i}}{{\frac {1}{2}}i}}\sin(x+{\frac {1}{2}}i)$, $y'=-\sin x=\cos(x+{\frac {\pi }{2}})$.