Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/21

Теперь вообразимъ кривую линію данную чрезъ уравненіе $y=f(x)$ между прямоугольными координатами. Ежели функція $f(x)$ будетъ непрерывною между предѣлами $x=x_{0}$ и $x=X$, то каждой абсциссѣ $x$, заключающейся между сими предѣлами будетъ соотвѣтствовать одна только ордината; и сверхъ того, когда $x$ получитъ безконечно-малое приращеніе $\Delta x$, то $y$ увеличится на безконечно-малое же количество $\Delta y$, а посему двумъ безконечно-мало разнствующимъ абсциссамъ $x$, $x+\Delta x$, будутъ соотвѣтствовать на кривой линіи двѣ безконечно-близкія точки, ибо разстояниіе сихъ точекъ выразится чрезъ безконечно-малую величину ${\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}$. Симъ условіямъ можно удовлетворить только тогда, когда кривая линія будетъ непрерывная между предѣлами $x=x_{0}$ и $x=X$,

Примѣръ. Построить кривыя линіи выражаемыя уравненіями

$$y=x^{m},y={\frac {1}{x^{m}}},y=A^{x},y=L(x),y=\sin x,$$

гдѣ $A$ означаетъ положительное количество, а $m$ цѣлое число.

Опредѣлить общій видъ сихъ кривыхъ линій.