Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/19

(2) $y+\Delta y=f(x+\Delta x)$

И вообще, предполагая

(3) $F(x,y)=0$

будемъ имѣть

(4) $F(x+\Delta x,y+\Delta y)=0$

Замѣтимъ, что ежели изъ уравненiя (2) вычтемъ уравненiе (1), то получимъ

(5) $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$.

Пусть будутъ теперь $h$ и $i$ два различныя количества, первое конечно, другое безконечно-малое, а $\alpha ={\frac {i}{h}}$ Безконечно-малое отношенiе сихъ двухъ количествъ. Ежели количеству $\Delta x$ припишемъ безконечно малую величину, полагая на примѣръ,

$$\Delta x=i=\alpha h,$$

то величина $\Delta y$, то-есть,

$f(x+i)-f(x)$ или $f(x+\alpha h)-f(x)$,

будетъ почти всегда безконечно-малое количество. Въ чемъ легко удостовѣримся въ разсужденiи слѣдующихъ функцiй:

$$A^{x},\sin x,\cos x,$$

коимъ соотвѣтствуютъ разности

$A^{x+i}-A^{x}=(A^{i}-1)A^{x},$

$\sin(x+i)-\sin(x)=2\sin {\frac {i}{2}}\cos(x+{\frac {i}{2}}),$

$\cos(x+i)-\cos(x)=2\sin {\frac {i}{2}}\cos(x+{\frac {i}{2}}),$

изъ коихъ каждая содержитъ множителеля $A^{i}-1$, или $\sin {\frac {i}{2}}$, оба приближающiяся къ нулю вмѣстѣ съ $i$.