Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/14

ное и вида ${\frac {1}{m}}$, где $m$ означаетъ число цѣлое, переменное, и могущее сдѣлаться безконечно великимъ, получаемъ

$$(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}=(1+{\frac {1}{m}})^{m}$$

$=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}(1-{\frac {1}{m}})+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}(1-{\frac {1}{m}})(1-{\frac {2}{m}})+....$

$...+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3...\cdot m}}(1-{\frac {1}{m}})(1-{\frac {2}{m}})...(1-{\frac {m-1}{m}})$

Но такъ какъ во второй части сего уравнения, всѣ члены заключающiе количество $m$суть положительные, и при томъ же величина каждого члены, равно какъ и число членовъ увеличивается вмѣстѣ съ увеличенiемъ количества $m$, то очевидно, что и выраженiе $(1+{\frac {1}{m}})^{m}$ возрастать будетъ вмѣстѣ съ цѣлымъ числомъ $m$, заключаясь всегда между двумя прѣделами

$1+{\frac {1}{1}}=2$

и $1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 2}}+$ и проч....$=1+1+1=3$; такъ что, для возрастающихъ величинъ m, оно приближаетъся постепенно къ нѣкоторому предѳлу заключающемуся между 2 и 3. Сей предѣлъ есть число весьма важное въ Дифференцiальномъ Изчисленiи; оный обыкновенно означаютъ буквою e. Взявъ $m=10000$, найдем посредствомъ таблицъ десятичныхъ логариѳмовъ, слѣдующую приближенную величину числа e:

$$({\frac {10001}{10000}})^{10000}=2,71823.$$

которая разнcтвуетъ отъ настоящей не болѣе какъ на одну десяти-тысячную часть, какъ мы то въ послѣдствiи увидимъ.

Теперь предположимъ что количество $a$, оставаясь положительнымъ, не можетъ быть выражено чрезъ дробь ${\frac {1}{m}}$.