Ближе обнаруживается это въ умноженіи и дѣленія; здѣсь положительное должно быть принимаемо по существу, какъ непротивоположное, отрица-цательное же, какъ противоположное, а не слѣдуетъ понимать обоихъ опредѣленій одинаково лишь за противоположныя. Такъ какъ учебники при доказательствахъ правилъ знаковъ въ обоихъ этихъ дѣйствіяхъ вообще исходятъ отъ понятія противоположныхъ величинъ, то эти доказательства оказываются недостаточными и запутываются въ противорѣчія. Но плюсъ и минусъ въ умноженіи и дѣленіи получаютъ болѣе опредѣленное значеніе положительнаго и отрицательнаго, такъ какъ взаимное отношеніе множителей, какъ единицы и опредѣленнаго числа, не есть просто отношеніе большого и меньшаго, какъ при сложеніи и вычитаніи, а имѣетъ качественный характеръ, вслѣдствіе чего и плюсъ, и минусъ получаютъ качественное значеніе положительнаго и отрицательнаго. Безъ такого опредѣленія и исходя только отъ понятія противоположныхъ величинъ, легко можно вывести ложнее заключеніе, что если — а. -+- а — — то наоборотъ, + а. — а = 4“ "2- Такъ какъ одинъ изъ множителей есть опредѣленное число, а другой — единица, при чемъ за первое принимается обыкновенно первый множитель, то оба выраженія — а. 4~ а и А "• — о различаются тѣмъ, что въ первомъ 4- а есть единица, — а опредѣленное число, а во второмъ наоборотъ. По поводу перваго слѣдуетъ сказать, что если + а должно быть взято — а разъ, то + а берется не просто а разъ, а вмѣстѣ съ тѣмъ противоположнымъ образомъ, т.-е. — а разъ -+- а; поэтому такъ какъ тутъ 4-, то его слѣдуетъ взять отрицательно, и произведеніе есть — а2. Если же, какъ во второмъ случаѣ, — а должно быть взято -р а разъ, то — а также должно быть взято не — а разъ, а въ противоположномъ смыслѣ, т.-е. 4~" разъ. По такому же разсужденію, какъ и въ первомъ случаѣ, произведеніе должно быть 4“ а2. То же самое имѣетъ мѣсто и при дѣленіи.
Это заключеніе необходимо, поскольку плюсъ и минусъ берутся, лишь какъ противоположныя величины вообще; минусу въ первомъ случаѣ приписывается способность измѣнять плюсъ; во второмъ же случаѣ плюсъ не имѣетъ такой силы надъ минусомъ, несмотря на то, что онъ также, какъ послѣдній, есть противоположное опредѣленіе величины. Дѣйствительно, плюсъ не обладаетъ такою силою, такъ какъ онъ долженъ быть здѣсь взятъ по своему качественному опредѣленію относительно минуса, поскольку множители относятся между собою качественно. Слѣдовательно, отрицательное есть здѣсь противоположное въ себѣ, какъ таковое, а положительное — неопредѣленное, безразличное воообще; правда, оно есть также отрицательное, но отрицательное другого, а не въ себѣ самомъ. Опредѣленіе привходитъ, стало быть, какъ отрицаніе, лишь черезъ отрицательное, а не черезъ положительное.
Поэтому и — а. — а — 4~ "2, такъ какъ отрицательное а должно быть взято не только противоположнымъ образомъ (такъ оно было бы взято при умноженіи на а), но отрицательно. А отрицаніе отрицанія ееть положительное.
Ближе обнаруживается это в умножении и деления; здесь положительное должно быть принимаемо по существу, как непротивоположное, отрица-цательное же, как противоположное, а не следует понимать обоих определений одинаково лишь за противоположные. Так как учебники при доказательствах правил знаков в обоих этих действиях вообще исходят от понятия противоположных величин, то эти доказательства оказываются недостаточными и запутываются в противоречия. Но плюс и минус в умножении и делении получают более определенное значение положительного и отрицательного, так как взаимное отношение множителей, как единицы и определенного числа, не есть просто отношение большого и меньшего, как при сложении и вычитании, а имеет качественный характер, вследствие чего и плюс, и минус получают качественное значение положительного и отрицательного. Без такого определения и исходя только от понятия противоположных величин, легко можно вывести ложнее заключение, что если — а. -+- а — — то наоборот, + а. — а = 4“ "2- Так как один из множителей есть определенное число, а другой — единица, при чём за первое принимается обыкновенно первый множитель, то оба выражения — а. 4~ а и А "• — о различаются тем, что в первом 4- а есть единица, — а определенное число, а во втором наоборот. По поводу первого следует сказать, что если + а должно быть взято — а раз, то + а берется не просто а раз, а вместе с тем противоположным образом, т. е. — а раз -+- а; поэтому так как тут 4-, то его следует взять отрицательно, и произведение есть — а2. Если же, как во втором случае, — а должно быть взято -р а раз, то — а также должно быть взято не — а раз, а в противоположном смысле, т. е. 4~" раз. По такому же рассуждению, как и в первом случае, произведение должно быть 4“ а2. То же самое имеет место и при делении.
Это заключение необходимо, поскольку плюс и минус берутся, лишь как противоположные величины вообще; минусу в первом случае приписывается способность изменять плюс; во втором же случае плюс не имеет такой силы над минусом, несмотря на то, что он также, как последний, есть противоположное определение величины. Действительно, плюс не обладает такою силою, так как он должен быть здесь взят по своему качественному определению относительно минуса, поскольку множители относятся между собою качественно. Следовательно, отрицательное есть здесь противоположное в себе, как таковое, а положительное — неопределенное, безразличное воообще; правда, оно есть также отрицательное, но отрицательное другого, а не в себе самом. Определение привходит, стало быть, как отрицание, лишь через отрицательное, а не через положительное.
Поэтому и — а. — а — 4~ "2, так как отрицательное а должно быть взято не только противоположным образом (так оно было бы взято при умножении на а), но отрицательно. А отрицание отрицания ееть положительное.
