архимедову способу изложенія задачи, а тѣмъ самымъ приведенъ въ свои надлежащіе предѣлы пріемъ, коему было присуще движеніе въ безконечность. Величіе новаго изобрѣтенія для себя и его способность разрѣшать до того времени неразрѣшимыя задачи, а ранѣе разрѣшимыя разрѣшать болѣе простымъ способомъ, должны быть приписаны исключительно открытію отношенія первоначальной къ производной функціи и тѣхъ частей математическаго цѣлаго, которыя состоятъ въ такомъ отношеніи.
Приведенныхъ соображеній достаточно для того, чтобы выяснить то своеобразіе въ отношеніи величинъ, которое составляетъ предметъ разсматриваемаго нынѣ особаго вида исчисленія. Эти соображенія можно было ограничить простыми задачами и способами ихъ рѣшенія; и не соотвѣтствовало бы ни цѣли опредѣленія нонятія, которое имѣлось здѣсь единственно въ виду, ни силамъ автора обозрѣть весь объемъ т. наз. приложенія дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія и распространить индукцію, лежащую въ основѣ указаннаго ею принципа, на всѣ задачи и ихъ рѣшенія. Но изложенное достаточно показало, что какъ каждому особому способу исчисленія свойственна особая опредѣленность или особое отношеніе величины къ его предмету, и что какъ этотъ особый способъ составляетъ сложеніе, умноженіе, возвышеніе въ степень и извлеченіе корня, исчисленіе логариѳмовъ и рядовъ и т. п., такъ то же справедливо о дифференціальномъ и интегральномъ исчисленіи; для того, что относится къ этому исчисленію, всего умѣстнѣе было бы названіе отношенія степенной функціи и функціи ея развитія или возвышенія въ степень, такъ какъ оно всего ближе къ пониманію природы дѣла. Но какъ дѣйствія по другимъ отношеніямъ величины, напр., сложеніе и т. п., также вообще употребляется при этомъ исчисленіи, такъ къ нему примѣняются и логариѳмы, отношенія, окружности и ряды въ особенности для того, чтобы сдѣлать удобнѣе выраженія при потребныхъ дѣйствіяхъ вывода первоначальныхъ изъ производныхъ функцій.
Съ формою ряда дифференціальное и интегральное исчисленіе вообще имѣетъ ближайшій общій интересъ опредѣленія тѣхъ развиваемыхъ функцій, которыя въ рядахъ именуются коефиціентами членовъ; но между тѣмъ какъ интересъ этого исчисленія простирается лишь на отношеніе первоначальной функціи къ ближайшему коефиціенту ряда, рядъ стремится найти сумму множества членовъ, расположеннаго по порядку степеней, съ коимъ связаны эти коефиціенты. Безконечное, присущее безконечному ряду, неопредѣленное выраженіе отрицанія опредѣленнаго количества вообще, не имѣетъ ничего общаго съ утвердительнымъ опредѣленіемъ, присущимъ безконечному этого исчисленія. Равнымъ образомъ безконечно-малое, какъ приращеніе, посредствомъ котораго развитіе принимаетъ форму ряда, есть лишь внѣшнее средство этого развитія, и его т. наз. безконечности принадлежитъ лишь значеніе не имѣть никакого значенія, кромѣ значенія такого средства; рядъ, поскольку онъ въ дѣйствительности не есть то, что отъ него требуется, приводитъ къ нѣкоторой прибавкѣ, вновь отбросить которую есть излишній трудъ. Этимъ затрудненіемъ обремененъ и методъ Лагранжа, который вновь прибѣгъ по преиму
архимедову способу изложения задачи, а тем самым приведен в свои надлежащие пределы прием, коему было присуще движение в бесконечность. Величие нового изобретения для себя и его способность разрешать до того времени неразрешимые задачи, а ранее разрешимые разрешать более простым способом, должны быть приписаны исключительно открытию отношения первоначальной к производной функции и тех частей математического целого, которые состоят в таком отношении.
Приведенных соображений достаточно для того, чтобы выяснить то своеобразие в отношении величин, которое составляет предмет рассматриваемого ныне особого вида исчисления. Эти соображения можно было ограничить простыми задачами и способами их решения; и не соответствовало бы ни цели определения нонятия, которое имелось здесь единственно в виду, ни силам автора обозреть весь объем т. наз. приложения дифференциального и интегрального исчисления и распространить индукцию, лежащую в основе указанного ею принципа, на все задачи и их решения. Но изложенное достаточно показало, что как каждому особому способу исчисления свойственна особая определенность или особое отношение величины к его предмету, и что как этот особый способ составляет сложение, умножение, возвышение в степень и извлечение корня, исчисление логарифмов и рядов и т. п., так то же справедливо о дифференциальном и интегральном исчислении; для того, что относится к этому исчислению, всего уместнее было бы название отношения степенной функции и функции её развития или возвышения в степень, так как оно всего ближе к пониманию природы дела. Но как действия по другим отношениям величины, напр., сложение и т. п., также вообще употребляется при этом исчислении, так к нему применяются и логарифмы, отношения, окружности и ряды в особенности для того, чтобы сделать удобнее выражения при потребных действиях вывода первоначальных из производных функций.
С формою ряда дифференциальное и интегральное исчисление вообще имеет ближайший общий интерес определения тех развиваемых функций, которые в рядах именуются коефициентами членов; но между тем как интерес этого исчисления простирается лишь на отношение первоначальной функции к ближайшему коефициенту ряда, ряд стремится найти сумму множества членов, расположенного по порядку степеней, с коим связаны эти коефициенты. Бесконечное, присущее бесконечному ряду, неопределенное выражение отрицания определенного количества вообще, не имеет ничего общего с утвердительным определением, присущим бесконечному этого исчисления. Равным образом бесконечно-малое, как приращение, посредством которого развитие принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство этого развития, и его т. наз. бесконечности принадлежит лишь значение не иметь никакого значения, кроме значения такого средства; ряд, поскольку он в действительности не есть то, что от него требуется, приводит к некоторой прибавке, вновь отбросить которую есть излишний труд. Этим затруднением обременен и метод Лагранжа, который вновь прибег по преиму
