Выпрямленіе прямыхъ по способу Лагранжа, исходящаго при этомъ отъ принципа Архимеда, представляетъ тотъ интересъ, что оно обнаруживаетъ намъ переводъ архимедова метода на языкъ новаго анализа, что позволяетъ бросить взглядъ на внутренній и истинный смыслъ механически производимаго другимъ путемъ дѣйствія. Этотъ способъ по необходимости аналогиченъ вышеуказанному способу; архимедовъ принципъ, по которому дуга кривой болѣе, чѣмъ соотвѣтствующая ей хорда, и менѣе, чѣмъ сумма двухъ касательныхъ, проведенныхъ къ конечнымъ точкамъ дуги, поскольку она заключена между этими двумя точками и точкою пересѣченія касательныхъ, не даетъ прямого уравненія. Переводомъ этого архимедова основного опредѣленія въ новую аналитическую форму служитъ изобрѣтеніе такого выраженія, которое должно быть для себя простымъ основнымъ уравненіемъ, такъ какъ эта форма ставитъ лишь требованіе движенія въ безконечность между большимъ и меньшимъ, постоянно сохраняющими опредѣленную величину, каковой переходъ постоянно даетъ лишь новыя большее и меньшее, хотя во все болѣе тѣсныхъ предѣлахъ. При помощи формализма безконечно-малыхъ сейчасъ же получается уравненіе dz1 — = dx2 + dy1. Изложеніе Лагранжа, исходящее отъ вышеуказаннаго основоположенія, обнаруживаетъ напротивъ, что величина дуги есть первоначальная функція нѣкоторой производной функціи, характеризующій которую членъ самъ есть функція отношенія производной функціи къ первоначальной функціи ординаты.
Такъ какъ въ способѣ Архимеда также, какъ впослѣдствіи въ кепле-ровомъ изслѣдованіи предметовъ стереометріи, выступаетъ представленіе безконечно-малыхъ, то это часто служило авторитетомъ для такого употребленія этого представленіи, какое дѣлается въ дифференціальномъ исчисленіи, безъ принятія въ соображеніе имѣющихъ тутъ мѣсто своеобразія и различія. Безконечно-малое означаетъ прежде всего отрицаніе опредѣленнаго количества, какъ такового, т.-е. такъ называемаго конечнаго значенія, законченной опредѣленности, присущей опредѣленному количеству, какъ таковому.
Также и въ послѣдующихъ знаменитыхъ методахъ Валеріуса, Ка-вальери и др., основанныхъ на разсмотрѣніи отношеній геометрическихъ предметовъ, то основное опредѣленіе, по которому опредѣленное пространство, какъ таковое, поставлено для этой цѣли въ рядъ съ опредѣленіями, разсматриваемыми ближайшимъ образомъ, лишь какъ отношенія, и они должны быть поэтому признаваемы за неимѣющія величины (nicht-grosses). Но тѣмъ самымъ не признается и не выдвигается то утвердительное, которое находится за просто-отрицательнымъ опредѣленіемъ, и которое ранѣе оказалось, говоря отвлеченно, качественною опредѣленностью величины, состоящею болѣе опредѣленнымъ образомъ въ степенномъ отношеніи; отчасти же, поскольку это отношеніе само опять-таки включаетъ въ себѣ множество ближе опредѣленныхъ отношеній, какъ, напримѣръ, степени и функціи ея развитія, то они вновь должны быть обоснованы на общемъ и отрицательномъ опредѣленіи того же безконечно-малаго и выведены изъ него. Въ вышеприведенномъ изложеніи Лагранжа найдено то опредѣленное утвердительное, которое свойственно
Выпрямление прямых по способу Лагранжа, исходящего при этом от принципа Архимеда, представляет тот интерес, что оно обнаруживает нам перевод архимедова метода на язык нового анализа, что позволяет бросить взгляд на внутренний и истинный смысл механически производимого другим путем действия. Этот способ по необходимости аналогичен вышеуказанному способу; архимедов принцип, по которому дуга кривой более, чем соответствующая ей хорда, и менее, чем сумма двух касательных, проведенных к конечным точкам дуги, поскольку она заключена между этими двумя точками и точкою пересечения касательных, не дает прямого уравнения. Переводом этого архимедова основного определения в новую аналитическую форму служит изобретение такого выражения, которое должно быть для себя простым основным уравнением, так как эта форма ставит лишь требование движения в бесконечность между большим и меньшим, постоянно сохраняющими определенную величину, каковой переход постоянно дает лишь новые большее и меньшее, хотя во всё более тесных пределах. При помощи формализма бесконечно-малых сейчас же получается уравнение dz1 — = dx2 + dy1. Изложение Лагранжа, исходящее от вышеуказанного основоположения, обнаруживает напротив, что величина дуги есть первоначальная функция некоторой производной функции, характеризующий которую член сам есть функция отношения производной функции к первоначальной функции ординаты.
Так как в способе Архимеда также, как впоследствии в кепле-ровом исследовании предметов стереометрии, выступает представление бесконечно-малых, то это часто служило авторитетом для такого употребления этого представлении, какое делается в дифференциальном исчислении, без принятия в соображение имеющих тут место своеобразия и различия. Бесконечно-малое означает прежде всего отрицание определенного количества, как такового, т. е. так называемого конечного значения, законченной определенности, присущей определенному количеству, как таковому.
Также и в последующих знаменитых методах Валериуса, Ка-вальери и др., основанных на рассмотрении отношений геометрических предметов, то основное определение, по которому определенное пространство, как таковое, поставлено для этой цели в ряд с определениями, рассматриваемыми ближайшим образом, лишь как отношения, и они должны быть поэтому признаваемы за неимеющие величины (nicht-grosses). Но тем самым не признается и не выдвигается то утвердительное, которое находится за просто-отрицательным определением, и которое ранее оказалось, говоря отвлеченно, качественною определенностью величины, состоящею более определенным образом в степенном отношении; отчасти же, поскольку это отношение само опять-таки включает в себе множество ближе определенных отношений, как, например, степени и функции её развития, то они вновь должны быть обоснованы на общем и отрицательном определении того же бесконечно-малого и выведены из него. В вышеприведенном изложении Лагранжа найдено то определенное утвердительное, которое свойственно
