изводной въ этомъ случаѣ данной функціи, и задача состоитъ въ томъ, чтобы выяснить значеніе искомой первоначальной функціи въ предметѣ данной производной или правильнѣе, такъ какъ это значеніе, напримѣръ кривая поверхность или выпрямляемая, представляемая прямою кривая линія и т. п., уже высказано въ задачѣ, въ томъ, чтобы показать, что такое опредѣленіе можетъ быть найдено черезъ нѣкоторую первоначальную функцію, а также какой моментъ предмета долженъ быть принятъ для исходной (производной) функціи.
Обычный методъ, пользующійся представленіемъ безконечно-малой разности, легко справляется съ дѣломъ; для квадратуры кривой онъ принимаетъ безконечно-малый прямоугольникъ, произведеніе ординаты на элементъ, т.-е. на безконечно-малую часть абсциссы, за трапецію, имѣющую одною своею стороной безконечно-малую дугу, противоположную сказанной безконечно-малой части абсциссы; это произведеніе и интегрируется въ томъ смыслѣ, чтобы, интегралъ суммы безконечно-многихъ трапецій далъ искомую поверхность, т.-е. конечную величину ея элемента. Точно также онъ образуетъ изъ безконечномалой дуги и соотвѣтствующихъ ей ординаты и абсциссы прямоугольный треугольникъ, въ которомъ квадратъ этой дуги считается равнымъ суммѣ квадратовъ обоихъ другихъ безконечно-малыхъ, интегрированіе которыхъ и даетъ конечную дугу.
Этотъ пріемъ опирается, какъ на свое предположеніе, на то общее открытіе, которое лежитъ въ основѣ этой отрасли анализа, имѣющее здѣсь тотъ смыслъ, что квадратура кривой, выпрямленная дуга и т. д. находятся къ, извѣстной данной въ уравненіи кривой функціи въ отношеніи такъ наз. первоначальной функціи къ производной. Задача состоитъ въ томъ, чтобы узнать, если извѣстная часть математическаго предмета (напр, кривой линіи) принимается за производную функцію, какая другая его часть выражается соотвѣтствующею первоначальною функціею. Извѣстно, что если данная въ уравненіи кривой функція ординаты принимается за производную функцію, то соотвѣтственная ей первоначальная функція есть выраженіе величины отрѣзанной этою ординатою и кривою плоскости, что если принимается за производную функцію извѣстное опредѣленіе касательной, то первоначальная функція выражаетъ величину соотвѣтствующей этому опредѣленію дуги и т. д.; но что эти отношенія — одно первоначальной функціи къ производной, и другое величинъ двухъ частей или аттрибутовъ математическаго, предмета — образуютъ пропорцію, узнать и доказать этого не считаетъ нужнымъ тотъ методъ, который пользуется безконечно-малыми и механическими дѣйствіями надъ ними. Является уже своеобразною заслугою остроумія нахожденіе внѣ уже извѣстныхъ результатовъ того, что нѣкоторыя и именно такія то стороны математическаго предмета находятся въ отношеніи первоначальной и производной функціи.
Изъ этихъ обѣихъ функцій производная или, какъ она была опредѣлена, функція возвышенія въ степень, есть въ интегральномъ исчисленіи данная; а первоначальная должна быть выведена изъ нея путемъ интегрированія. Но.
изводной в этом случае данной функции, и задача состоит в том, чтобы выяснить значение искомой первоначальной функции в предмете данной производной или правильнее, так как это значение, например кривая поверхность или выпрямляемая, представляемая прямою кривая линия и т. п., уже высказано в задаче, в том, чтобы показать, что такое определение может быть найдено через некоторую первоначальную функцию, а также какой момент предмета должен быть принят для исходной (производной) функции.
Обычный метод, пользующийся представлением бесконечно-малой разности, легко справляется с делом; для квадратуры кривой он принимает бесконечно-малый прямоугольник, произведение ординаты на элемент, т. е. на бесконечно-малую часть абсциссы, за трапецию, имеющую одною своею стороной бесконечно-малую дугу, противоположную сказанной бесконечно-малой части абсциссы; это произведение и интегрируется в том смысле, чтобы, интеграл суммы бесконечно-многих трапеций дал искомую поверхность, т. е. конечную величину её элемента. Точно также он образует из бесконечномалой дуги и соответствующих ей ординаты и абсциссы прямоугольный треугольник, в котором квадрат этой дуги считается равным сумме квадратов обоих других бесконечно-малых, интегрирование которых и дает конечную дугу.
Этот прием опирается, как на свое предположение, на то общее открытие, которое лежит в основе этой отрасли анализа, имеющее здесь тот смысл, что квадратура кривой, выпрямленная дуга и т. д. находятся к, известной данной в уравнении кривой функции в отношении так наз. первоначальной функции к производной. Задача состоит в том, чтобы узнать, если известная часть математического предмета (напр, кривой линии) принимается за производную функцию, какая другая его часть выражается соответствующею первоначальною функциею. Известно, что если данная в уравнении кривой функция ординаты принимается за производную функцию, то соответственная ей первоначальная функция есть выражение величины отрезанной этою ординатою и кривою плоскости, что если принимается за производную функцию известное определение касательной, то первоначальная функция выражает величину соответствующей этому определению дуги и т. д.; но что эти отношения — одно первоначальной функции к производной, и другое величин двух частей или аттрибутов математического, предмета — образуют пропорцию, узнать и доказать этого не считает нужным тот метод, который пользуется бесконечно-малыми и механическими действиями над ними. Является уже своеобразною заслугою остроумия нахождение вне уже известных результатов того, что некоторые и именно такие то стороны математического предмета находятся в отношении первоначальной и производной функции.
Из этих обеих функций производная или, как она была определена, функция возвышения в степень, есть в интегральном исчислении данная; а первоначальная должна быть выведена из неё путем интегрирования. Но.
