формальная, какъ и дифференціальнаго исчисленія, но при этомъ обратная послѣднему; въ первомъ случаѣ исходятъ отъ функціи, которая разсматривается, какъ производная, какъ коефиціентъ перваго возникающаго черезъ развитіе еще неизвѣстнаго уравненія члена, и черезъ нее должна быть найдена первоначальная степенная функція; та функція, которая. въ естественномъ порядкѣ развитія разсматривается, какъ первоначальная, здѣсь имѣетъ характеръ производный, а та, которая ранѣе считалась производною, есть здѣсь данная или вообще первоначальная. Формальная сторона этого дѣйствія является уже предрѣшенною дифференціальнымъ исчисленіемъ, такъ какъ послѣднее вообще установляетъ переходъ и отношеніе первоначальной функціи къ возникающей путемъ ея развитія. Если при этомъ отчасти для того, чтобы подставить ту функцію, отъ которой должно исходить, отчасти для осуществленія перехода ея къ первоначальной функціи во многихъ случаяхъ оказывается необходимымъ прибѣгнуть къ формѣ ряда, то нужно прежде всего твердо помнить, что эта форма, какъ таковая, не имѣетъ никакой непосредственной связи съ собственнымъ принципомъ интегрированія.
Но другою стороною задачи этого исчисленія является съ точки зрѣнія формальнаго дѣйствія его приложеніе. Послѣднее и является само задачею узнать — въ вышеуказанномъ смыслѣ — то значеніе, которое свойственно первоначальной функціи, разсматриваемой съ точки зрѣнія данной функціи, принимаемой за первую (производную) и относимой къ особому предмету. Само по себѣ это ученіе могло бы повидимому войти вполнѣ въ составъ дифференціальнаго исчисленія; но есть дальнѣйшее обстоятельство, вслѣдствіе котораго дѣло оказывается не такъ просто. Именно поскольку въ этомъ исчисленіи оказывается, что въ производной функціи уравненія кривой получается линейное отношеніе, то тѣмъ самымъ признается, что интегрированіе этого отношенія даетъ уравненіе кривой въ отношеніи абсциссы и ординаты; или если дано уравненіе кривой поверхности, то дифференцированіе уже научаетъ значенію производной функціи такого уравненія, именно что въ этой функціи ордината представляетъ функцію абсциссы, стало быть уравненіе кривой линіи.
Но тутъ возникаетъ вопросъ, какой изъ моментовъ, опредѣляющихъ предметъ, данъ въ самомъ уравненіи, ибо аналитическое изслѣдованіе можетъ исходить лишь отъ даннаго а и отъ него переходить къ прочимъ опредѣленіямъ предмета. Дано, напримѣръ, не уравненіе кривой поверхности а, или происходящаго черезъ ея вращеніе тѣла, или ея дуга, но лишь отношеніе абсциссы и ординаты въ уравненіи самой кривой линіи. Переходы отъ такихъ опредѣленій къ этому уравненію не составляютъ поэтому предмета дифференціальнаго исчисленія, найти такія отношенія есть дѣло интегральнаго исчисленія.
Но, далѣе, было уже показано, что дифференцированіе уравненія съ многими перемѣнными величинами даетъ развитіе степени или дифференціальные коефиціенты, не какъ уравненіе, а только какъ отношеніе; задача состоитъ въ томъ, чтобы въ моментахъ предмета найти для этого отношенія, которое есть производная функція, другое равное ему. Напротивъ предметъ интегральнаго исчисленія есть самое отношеніе первоначальной къ про
формальная, как и дифференциального исчисления, но при этом обратная последнему; в первом случае исходят от функции, которая рассматривается, как производная, как коефициент первого возникающего через развитие еще неизвестного уравнения члена, и через нее должна быть найдена первоначальная степенная функция; та функция, которая. в естественном порядке развития рассматривается, как первоначальная, здесь имеет характер производный, а та, которая ранее считалась производною, есть здесь данная или вообще первоначальная. Формальная сторона этого действия является уже предрешенною дифференциальным исчислением, так как последнее вообще установляет переход и отношение первоначальной функции к возникающей путем её развития. Если при этом отчасти для того, чтобы подставить ту функцию, от которой должно исходить, отчасти для осуществления перехода её к первоначальной функции во многих случаях оказывается необходимым прибегнуть к форме ряда, то нужно прежде всего твердо помнить, что эта форма, как таковая, не имеет никакой непосредственной связи с собственным принципом интегрирования.
Но другою стороною задачи этого исчисления является с точки зрения формального действия его приложение. Последнее и является само задачею узнать — в вышеуказанном смысле — то значение, которое свойственно первоначальной функции, рассматриваемой с точки зрения данной функции, принимаемой за первую (производную) и относимой к особому предмету. Само по себе это учение могло бы по-видимому войти вполне в состав дифференциального исчисления; но есть дальнейшее обстоятельство, вследствие которого дело оказывается не так просто. Именно поскольку в этом исчислении оказывается, что в производной функции уравнения кривой получается линейное отношение, то тем самым признается, что интегрирование этого отношения дает уравнение кривой в отношении абсциссы и ординаты; или если дано уравнение кривой поверхности, то дифференцирование уже научает значению производной функции такого уравнения, именно что в этой функции ордината представляет функцию абсциссы, стало быть уравнение кривой линии.
Но тут возникает вопрос, какой из моментов, определяющих предмет, дан в самом уравнении, ибо аналитическое исследование может исходить лишь от данного а и от него переходить к прочим определениям предмета. Дано, например, не уравнение кривой поверхности а, или происходящего через её вращение тела, или её дуга, но лишь отношение абсциссы и ординаты в уравнении самой кривой линии. Переходы от таких определений к этому уравнению не составляют поэтому предмета дифференциального исчисления, найти такие отношения есть дело интегрального исчисления.
Но, далее, было уже показано, что дифференцирование уравнения с многими переменными величинами дает развитие степени или дифференциальные коефициенты, не как уравнение, а только как отношение; задача состоит в том, чтобы в моментах предмета найти для этого отношения, которое есть производная функция, другое равное ему. Напротив предмет интегрального исчисления есть самое отношение первоначальной к про
