перпендикулярно проведена требуемая прямая линія, затѣмъ самою этою линіею, нормальною, и, въ третьихъ, частью оси, отрѣзаемой ординатою и нормальною, поднормальною. Изъ извѣстнаго уравненія кривой подставляется за симъ въ уравненіе треугольника значеніе или ординаты или абсциссы такъ, что получается уравненіе второй степени (при чемъ Декартъ показываетъ, какъ къ тому же можно свести и кривыя, уравненія коихъ содержатъ высшія степени), въ которомъ дана лишь одна изъ перемѣнныхъ величинъ и при томъ въ квадратѣ и въ первой степени; квадратное уравненіе, которое прежде всего является такъ называемымъ нечистымъ. За симъ Декартъ разсуждаетъ, что если представить себѣ одну точку кривой точкою пересѣченія ея съ кругомъ, то этотъ кругъ долженъ пересѣчь кривую еще въ одной точкѣ, и тѣмъ самымъ должны получиться для двухъ происходящихъ такимъ образомъ и неравныхъ х два уравненія съ тѣми же постоянными величинами и одинаковой формы, — или же лишь одно уравненіе съ разными значеніями х. Но уравненія могутъ быть сдѣланы однимъ для одного треугольника, въ которомъ гипотенуза есть перпендикулярная къ кривой, нормальная, что представляется такъ, что обѣ точки пересѣченія становятся совпадающими, если кругъ становится касающимся къ кривой. Но при этомъ устраняется и неравенство корня х или у квадратнаго уравненія. Въ квадратномъ же уравненіи съ двумя равными корнями коефиціентъ члена, содержащаго неизвѣстное въ первой степени, вдвое болѣе одного корня, что даетъ уравненіе, посредствомъ котораго находятся искомыя опредѣленія. Этотъ способъ долженъ считаться геніальнымъ пріемомъ истинно-аналитической головы, которому далеко уступаетъ совершенно ассерторически принимаемая пропорціональность подкасательной и ординаты долженствующимъ быть безконечно-малыми такъ называемымъ приращеніямъ абсциссы и ординаты.
Найденное такимъ путемъ конечное уравненіе, въ которомъ коефиціентъ второго члена квадратнаго уравненія равенъ удвоенному корню или неизвѣстному, тожественно уравненію, находимому посредствомъ дифференціальнаго исчисленія. Дифференцированіе х2 — ах — Ъ — о даетъ новое уравненіе 2ж — а — о; а дифференцированіе х2 — рх — q — о даетъ За;2 — р — о. Но здѣсь должно замѣтить, что правильность такихъ производныхъ уравненій отнюдь не самоочевидна. Изъ уравненія съ двумя перемѣнными величинами, которыя оттого, что онѣ перемѣнны, еще не перестаютъ быть неизвѣстными, возникаетъ, какъ указано выше, лишь отношеніе, по тому приведенному выше простому основанію, что черезъ подстановленіе функцій возвышенія въ степень вмѣсто самихъ степеней измѣняется значеніе обоихъ членовъ уравненія, и остается еще неизвѣстнымъ, сохраняется ли между ними уравненіе при такомъ измѣненіи значенія. Уравненіе ^ = Р выражаетъ собою только то, что Р есть отношеніе, а затѣмъ не приписывается никакого реальнаго смысла. Объ этомъ
отношеніи = Р также еще неизвѣстно, какому другому отношенію оно равно; оно получаетъ значеніе лишь черезъ уравненіе пропорціональности. Такъ
перпендикулярно проведена требуемая прямая линия, затем самою этою линиею, нормальною, и, в третьих, частью оси, отрезаемой ординатою и нормальною, поднормальною. Из известного уравнения кривой подставляется за сим в уравнение треугольника значение или ординаты или абсциссы так, что получается уравнение второй степени (при чём Декарт показывает, как к тому же можно свести и кривые, уравнения коих содержат высшие степени), в котором дана лишь одна из переменных величин и при том в квадрате и в первой степени; квадратное уравнение, которое прежде всего является так называемым нечистым. За сим Декарт рассуждает, что если представить себе одну точку кривой точкою пересечения её с кругом, то этот круг должен пересечь кривую еще в одной точке, и тем самым должны получиться для двух происходящих таким образом и неравных х два уравнения с теми же постоянными величинами и одинаковой формы, — или же лишь одно уравнение с разными значениями х. Но уравнения могут быть сделаны одним для одного треугольника, в котором гипотенуза есть перпендикулярная к кривой, нормальная, что представляется так, что обе точки пересечения становятся совпадающими, если круг становится касающимся к кривой. Но при этом устраняется и неравенство корня х или у квадратного уравнения. В квадратном же уравнении с двумя равными корнями коефициент члена, содержащего неизвестное в первой степени, вдвое более одного корня, что дает уравнение, посредством которого находятся искомые определения. Этот способ должен считаться гениальным приемом истинно-аналитической головы, которому далеко уступает совершенно ассерторически принимаемая пропорциональность подкасательной и ординаты долженствующим быть бесконечно-малыми так называемым приращениям абсциссы и ординаты.
Найденное таким путем конечное уравнение, в котором коефициент второго члена квадратного уравнения равен удвоенному корню или неизвестному, тожественно уравнению, находимому посредством дифференциального исчисления. Дифференцирование х2 — ах — Ъ — о дает новое уравнение 2ж — а — о; а дифференцирование х2 — рх — q — о дает За;2 — р — о. Но здесь должно заметить, что правильность таких производных уравнений отнюдь не самоочевидна. Из уравнения с двумя переменными величинами, которые оттого, что они переменны, еще не перестают быть неизвестными, возникает, как указано выше, лишь отношение, по тому приведенному выше простому основанию, что через подстановление функций возвышения в степень вместо самих степеней изменяется значение обоих членов уравнения, и остается еще неизвестным, сохраняется ли между ними уравнение при таком изменении значения. Уравнение ^ = Р выражает собою только то, что Р есть отношение, а затем не приписывается никакого реального смысла. Об этом
отношении = Р также еще неизвестно, какому другому отношению оно равно; оно получает значение лишь через уравнение пропорциональности. Так
