Страница:Гегель Г.В.Ф. - Наука логики. Т. 1 - 1916.djvu/233

Эта страница не была вычитана
— 196 —

касательная, — это показывается при помощи приращенія і абсциссы и опредѣляемаго черезъ развитіе функціи приращенія ординаты. Здѣсь, слѣдовательно, опять-таки выступаетъ пресловутое приращеніе; но такъ какъ оно вводится для только что объясненной надобности, то и развитіе функціи при его помощи должно, конечно, считаться чѣмъ-то другимъ сравнительно съ ранѣе упомянутымъ употребленіемъ приращенія для нахожденія дифференціальнаго уравненія и для характеристическаго треугольника. Допускаемое здѣсь употребленіе правомѣрно и необходимо; оно входитъ въ кругъ геометріи, такъ какъ оно служитъ для геометрическаго опредѣленія касательной, какъ таковой, которое не можетъ между касательною и кривою, съ коею первая имѣетъ общую точку, найти никакой прямой линіи, также проходящей черезъ эту точку. Ибо этимъ опредѣленіемъ качество касательной и не-касательной сводится къ различенію величины, и касательною оказывается та линія, на которую съ точки зрѣнія лишь опредѣленія приходится наименьшая величина (die grössere Kleinheit). Эта повидимому лишь относительно наименьшая величина не содержитъ въ себѣ ничего эмпирическаго, т.-е. зависяіцаго отъ опредѣленнаго количества, какъ такового, она положена качественно самымъ свойствомъ формулы, если только различіе момента, отъ котораго зависитъ сравниваемая величина, есть различіе степени; если послѣдняя объемлетъ і и і2, и если і, долженствующее въ концѣ концовъ означать число, изображается дробью, то г1 въ себѣ и для себя менѣе, чѣмъ і, такъ что даже представленіе любой величины, которую можно приписать і, здѣсь излишне и даже неумѣстно. Поэтому и доказательство наименьшей величины не имѣетъ ничего общаго съ безконечно-малымъ, которое тѣмъ самымъ здѣсь совершенно не выступаетъ. Просто ради его красоты и ради нынѣ забываемой, но вполнѣ заслуженной славы, я хочу здѣсь сказать о декартовомъ методѣ касательныхъ; онъ имѣетъ впрочемъ отношеніе къ природѣ уравненій, о которыхъ нужно сдѣлать еще дальнѣйшее замѣчаніе. Декартъ излагаетъ этотъ самостоятельный методъ, въ которомъ искомое линейное опредѣленіе также находится путемъ той же производной функціи, въ своей и въ другихъ отношеніяхъ оказавшейся столь плодотворною геометріи (Ііѵ. П. 357 и сл. Oeuvres compl. ed. Cousin t. V), въ которой онъ научилъ великимъ основоположеніямъ касательно природы уравненій и ихъ геометрическаго построенія, а съ тѣмъ вмѣстѣ и приложенію анализа къ геометріи. Проблемма имѣетъ у него форму задачи — провести прямыя линіи перпендикулярно къ любому мѣсту кривой, чѣмъ опредѣляются подкасательныя и т. п.; понятно то удовлетвореніе, которое онъ выражаетъ по поводу своего открытія, касавшагося предмета господствовавшаго въ то время общаго научнаго интереса, открытія, которое столь геометрично и тѣмъ самымъ столь возвышается надъ вышеупомянутыми методами простыхъ правилъ его соперниковъ: "я осмѣливаюсь сказать, что эта самая полезная и самая общая изъ геометрическихъ задачъ, не только изъ тѣхъ, которыя я знаю, но даже изъ тѣхъ, которыя я когда-либо желалъ знать въ геометріи“. Онъ основываетъ рѣшеніе ея на аналитическихъ уравненіяхъ прямоугольнаго треугольника, образуемаго ординатою точки кривой, въ которой должна быть


Тот же текст в современной орфографии

касательная, — это показывается при помощи приращения і абсциссы и определяемого через развитие функции приращения ординаты. Здесь, следовательно, опять-таки выступает пресловутое приращение; но так как оно вводится для только что объясненной надобности, то и развитие функции при его помощи должно, конечно, считаться чем-то другим сравнительно с ранее упомянутым употреблением приращения для нахождения дифференциального уравнения и для характеристического треугольника. Допускаемое здесь употребление правомерно и необходимо; оно входит в круг геометрии, так как оно служит для геометрического определения касательной, как таковой, которое не может между касательною и кривою, с коею первая имеет общую точку, найти никакой прямой линии, также проходящей через эту точку. Ибо этим определением качество касательной и не-касательной сводится к различению величины, и касательною оказывается та линия, на которую с точки зрения лишь определения приходится наименьшая величина (die grössere Kleinheit). Эта по-видимому лишь относительно наименьшая величина не содержит в себе ничего эмпирического, т. е. зависяицего от определенного количества, как такового, она положена качественно самым свойством формулы, если только различие момента, от которого зависит сравниваемая величина, есть различие степени; если последняя объемлет і и і2, и если і, долженствующее в конце концов означать число, изображается дробью, то г1 в себе и для себя менее, чем і, так что даже представление любой величины, которую можно приписать і, здесь излишне и даже неуместно. Поэтому и доказательство наименьшей величины не имеет ничего общего с бесконечно-малым, которое тем самым здесь совершенно не выступает. Просто ради его красоты и ради ныне забываемой, но вполне заслуженной славы, я хочу здесь сказать о декартовом методе касательных; он имеет впрочем отношение к природе уравнений, о которых нужно сделать еще дальнейшее замечание. Декарт излагает этот самостоятельный метод, в котором искомое линейное определение также находится путем той же производной функции, в своей и в других отношениях оказавшейся столь плодотворною геометрии (Ііи. П. 357 и сл. Oeuvres compl. ed. Cousin t. V), в которой он научил великим основоположениям касательно природы уравнений и их геометрического построения, а с тем вместе и приложению анализа к геометрии. Проблемма имеет у него форму задачи — провести прямые линии перпендикулярно к любому месту кривой, чем определяются подкасательные и т. п.; понятно то удовлетворение, которое он выражает по поводу своего открытия, касавшегося предмета господствовавшего в то время общего научного интереса, открытия, которое столь геометрично и тем самым столь возвышается над вышеупомянутыми методами простых правил его соперников: "я осмеливаюсь сказать, что эта самая полезная и самая общая из геометрических задач, не только из тех, которые я знаю, но даже из тех, которые я когда-либо желал знать в геометрии“. Он основывает решение её на аналитических уравнениях прямоугольного треугольника, образуемого ординатою точки кривой, в которой должна быть