пени уравненія, съ отношеніемъ ординаты и подкасательной, оказалась полученною не эмпирически, какъ уже давно знакомая, но путемъ доказательства, Однако, старое знакомство проявляется вообще и несомнѣнно въ томъ, что вышеуказанная форма правила оказывается единственнымъ поводомъ и относительнымъ оправданіемъ къ принятію характеристическаго треугольника и упомянутой пропорціональности.
Лагранжъ отбросилъ эту симуляцію и вступилъ на истинно-научный путь; его методъ привелъ къ правильному взгляду, такъ какъ этотъ методъ состоитъ въ томъ, чтобы раздѣлить оба перехода, потребные для рѣшенія задачи, и каждый изъ нихъ разработать и доказать для себя. Одна часть этого рѣшенія — остающаяся ближайшимъ образомъ при примѣрѣ элементарной задачи нахожденія подкасательной — теоретическая или общая часть, именно нахожденіе первой функціи изъ даннаго уравненія кривой, регулируется сама для себя; она даетъ линейное отношеніе, т.-е. отношеніе прямыхъ линій, входящихъ въ систему опредѣленія кривой. Другая часть рѣшенія есть нахожденіе тѣхъ связанныхъ съ кривою линій, которыя состоятъ въ такомъ отношеніи. Это достигается прямымъ путемъ (Theorie des fonct. anal. p. II chap. II), т.-е. безъ характеристическаго треугольника, безъ того, чтобы прибѣгать къ безконечно-малымъ дугамъ, ординатамъ и абсциссамъ и давать имъ опредѣленія dy и dx, т.-е. членовъ этого отношенія, и вмѣстѣ съ тѣмъ безъ того, чтобы непосредственно установлять ихъ равенство съ ординатою и подкасательною. Таково, говоря мимоходомъ, основное положеніе аналитической геометріи, которое исходитъ отъ координатъ или, что то же самое, механики — отъ параллелограмма силъ, и именно потому не испытываетъ потребности задавать себѣ трудъ доказательства. Подкасательная полагается стороною треугольника, другія стороны котораго суть ордината и соотвѣтствующая ей касательная. Послѣдняя, какъ прямая линія, имѣетъ своимъ уравненіемъ р = aq (прибавленіе + Ъ безполезно для опредѣленія и обусловливается лишь любовью къ обобщенію); опредѣленіе отношенія -у- есть а, коефиціентъ q, который есть относительно первая функція уравненія, вообще же должно быть разсматриваемо, лишь какъ а = , т.-е., какъ сказано, какъ существенное
опредѣленіе прямой линіи, составляющей касательную къ кривой. Поскольку затѣмъ берется первая функція уравненія кривой, она (функція) есть также опредѣленіе нѣкоторой прямой линіи; поскольку далѣе одна координата р первой прямой линіи и у, ордината кривой, отожествляются, т.-е. точка, въ которой она, принимаемая за касательную, прикасается къ кривой, есть равнымъ образомъ исходная точка прямой, опредѣляемой первою функціею кривой, то вопросъ сводится къ доказательству, что эта вторая прямая линія совпадаетъ съ первою, т.-е. есть касательная; или выражаясь алгебраически, что если y = fx, ap = Fq. и если у = р, т.-е. fx — Fx, то fx — Fx. А что принимаемая за касательную прямая и та прямая, которая опредѣляется изъ уравненія его первою функціею, совпадаютъ, что вторая прямая есть также
пени уравнения, с отношением ординаты и подкасательной, оказалась полученною не эмпирически, как уже давно знакомая, но путем доказательства, Однако, старое знакомство проявляется вообще и несомненно в том, что вышеуказанная форма правила оказывается единственным поводом и относительным оправданием к принятию характеристического треугольника и упомянутой пропорциональности.
Лагранж отбросил эту симуляцию и вступил на истинно-научный путь; его метод привел к правильному взгляду, так как этот метод состоит в том, чтобы разделить оба перехода, потребные для решения задачи, и каждый из них разработать и доказать для себя. Одна часть этого решения — остающаяся ближайшим образом при примере элементарной задачи нахождения подкасательной — теоретическая или общая часть, именно нахождение первой функции из данного уравнения кривой, регулируется сама для себя; она дает линейное отношение, т. е. отношение прямых линий, входящих в систему определения кривой. Другая часть решения есть нахождение тех связанных с кривою линий, которые состоят в таком отношении. Это достигается прямым путем (Theorie des fonct. anal. p. II chap. II), т. е. без характеристического треугольника, без того, чтобы прибегать к бесконечно-малым дугам, ординатам и абсциссам и давать им определения dy и dx, т. е. членов этого отношения, и вместе с тем без того, чтобы непосредственно установлять их равенство с ординатою и подкасательною. Таково, говоря мимоходом, основное положение аналитической геометрии, которое исходит от координат или, что то же самое, механики — от параллелограмма сил, и именно потому не испытывает потребности задавать себе труд доказательства. Подкасательная полагается стороною треугольника, другие стороны которого суть ордината и соответствующая ей касательная. Последняя, как прямая линия, имеет своим уравнением р = aq (прибавление + Ъ бесполезно для определения и обусловливается лишь любовью к обобщению); определение отношения -у- есть а, коефициент q, который есть относительно первая функция уравнения, вообще же должно быть рассматриваемо, лишь как а = , т. е., как сказано, как существенное
определение прямой линии, составляющей касательную к кривой. Поскольку затем берется первая функция уравнения кривой, она (функция) есть также определение некоторой прямой линии; поскольку далее одна координата р первой прямой линии и у, ордината кривой, отожествляются, т. е. точка, в которой она, принимаемая за касательную, прикасается к кривой, есть равным образом исходная точка прямой, определяемой первою функциею кривой, то вопрос сводится к доказательству, что эта вторая прямая линия совпадает с первою, т. е. есть касательная; или выражаясь алгебраически, что если y = fx, ap = Fq. и если у = р, т. е. fx — Fx, то fx — Fx. А что принимаемая за касательную прямая и та прямая, которая определяется из уравнения его первою функциею, совпадают, что вторая прямая есть также
