ференціальнаго исчисленія. Но тѣмъ самымъ, во-вторыхъ, дается отношеніе высшаго степеннаго опредѣленія (первоначальнаго уравненія) къ низшему (къ производной функціи). Это второе отношеніе мы покуда оставимъ въ сторонѣ; оно окажется собственнымъ предметомъ интегральнаго исчисленія.
Разсмотримъ прежде всего первое отношеніе и возьмемъ изъ такъ называемаго приложенія для рѣшающаго опредѣленія того момента, въ которомъ заключается интересъ дѣйствія, простѣйшій примѣръ кривой, опредѣляемой уравненіемъ второй степени. Какъ извѣстно, черезъ уравненіе непосредственно дается въ степенномъ опредѣленіи отношеніе координатъ. Слѣдствіями основного опредѣленія служатъ опредѣленія другихъ прямыхъ линій, связанныхъ съ координатами, касательной, подкасательной, нормальной и т. п. Но уравненія, связующія эти линіи съ координатами, суть линейныя уравненія; тѣ цѣлыя, какъ части которыхъ опредѣляютъ эти линіи, суть прямоугольные треугольники, составленные прямыми линіями. Переходъ отъ основного уравненія, содержащаго степенное опредѣленіе, къ этимъ линейнымъ уравненіямъ есть вышеуказанный переходъ отъ первоначальной функціи, т.-е. отъ уравненія, къ производной функціи, которая есть отношеніе и притомъ отношеніе между извѣстными, содержащимися въ кривой линіями. Связь между отношеніями этихъ линій и уравненіемъ кривой и есть искомое.
Не безынтересно привести здѣсь только ту историческую справку, что первые изслѣдователи умѣли рѣшать эту задачу лишь совершенно эмпирически, не отдавая себѣ отчета въ совершенно внѣшнемъ характерѣ дѣйствія. Я ограничить указаніемъ на Барроу, учителя Ньютона. Въ своихъ Lect. opt. et geom., въ которыхъ онъ рѣшаетъ задачи высшей геометріи по методу недѣлимыхъ (частей), отличающему ближайшимъ образомъ отъ особенностей дифференціальнаго исчисленія, онъ сообщаетъ "такъ какъ на томъ настаиваютъ его друзья (lect. X)“, свой способъ опредѣленія касательныхъ. Нужно прочесть у него самого, какъ рѣшаетъ онъ эту задачу, чтобы составить должное представленіе о совершенно внѣшнемъ правилѣ этого способа, совершенно въ томъ же стилѣ, какъ излагалось ранѣе въ учебникахъ ариѳметики тройное правило. Онъ чертитъ тѣ маленькія линія, которыя впослѣдствія были названы приращеніями въ характеристическомъ треугольниникѣ кривой линіи, и затѣмъ предписываетъ въ видѣ простого правила отбросить, какъ излишніе, члены, получающіеся путемъ развитія уравненій, какъ степени или произведенія этихъ приращеній (etenim іэѣі termini nihilum valebunt), а также и тѣ члены, которые содержатъ опредѣленныя величины лишь изъ первоначальнаго уравненія (то, что впослѣдствіи достигалось вычитаніемъ первоначальнаго уравненія изъ него же съ приращеніями), и напослѣдокъ вставить вмѣсто приращенія ординаты самую ординату и вмѣсто праращенія абсциссы — подкасательную. Невозможно, если позволительно такъ выразиться, изложить способъ болѣе педантично; это подстановленіе основано на принимаемой обыч нымъ методомъ дифференціальнаго исчисленія для опредѣленія касательной пропорціональности приращеній ординаты и абсциссы съ ординатою и под-13
ЛОГИКА ГЕГЕЛЯ.
ференциального исчисления. Но тем самым, во-вторых, дается отношение высшего степенного определения (первоначального уравнения) к низшему (к производной функции). Это второе отношение мы покуда оставим в стороне; оно окажется собственным предметом интегрального исчисления.
Рассмотрим прежде всего первое отношение и возьмем из так называемого приложения для решающего определения того момента, в котором заключается интерес действия, простейший пример кривой, определяемой уравнением второй степени. Как известно, через уравнение непосредственно дается в степенном определении отношение координат. Следствиями основного определения служат определения других прямых линий, связанных с координатами, касательной, подкасательной, нормальной и т. п. Но уравнения, связующие эти линии с координатами, суть линейные уравнения; те целые, как части которых определяют эти линии, суть прямоугольные треугольники, составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего степенное определение, к этим линейным уравнениям есть вышеуказанный переход от первоначальной функции, т. е. от уравнения, к производной функции, которая есть отношение и притом отношение между известными, содержащимися в кривой линиями. Связь между отношениями этих линий и уравнением кривой и есть искомое.
Не безынтересно привести здесь только ту историческую справку, что первые исследователи умели решать эту задачу лишь совершенно эмпирически, не отдавая себе отчета в совершенно внешнем характере действия. Я ограничить указанием на Барроу, учителя Ньютона. В своих Lect. opt. et geom., в которых он решает задачи высшей геометрии по методу неделимых (частей), отличающему ближайшим образом от особенностей дифференциального исчисления, он сообщает "так как на том настаивают его друзья (lect. X)“, свой способ определения касательных. Нужно прочесть у него самого, как решает он эту задачу, чтобы составить должное представление о совершенно внешнем правиле этого способа, совершенно в том же стиле, как излагалось ранее в учебниках арифметики тройное правило. Он чертит те маленькие линия, которые впоследствия были названы приращениями в характеристическом треугольнинике кривой линии, и затем предписывает в виде простого правила отбросить, как излишние, члены, получающиеся путем развития уравнений, как степени или произведения этих приращений (etenim иэеи termini nihilum valebunt), а также и те члены, которые содержат определенные величины лишь из первоначального уравнения (то, что впоследствии достигалось вычитанием первоначального уравнения из него же с приращениями), и напоследок вставить вместо приращения ординаты самую ординату и вместо праращения абсциссы — подкасательную. Невозможно, если позволительно так выразиться, изложить способ более педантично; это подстановление основано на принимаемой обыч ным методом дифференциального исчисления для определения касательной пропорциональности приращений ординаты и абсциссы с ординатою и под-13
ЛОГИКА ГЕГЕЛЯ.
