въ томъ, чтобы быть вспомогательнымъ средствомъ раскрытія ряда; то, къ чему по признанію, опредѣленнѣе всего выраженному Эйлеромъ и Ла-гранжемъ, а также подразумѣваемому вышеупомянутымъ представленіемъ о предѣлѣ, стремятся въ этомъ случаѣ, суть лишь получающіяся при этомъ степенныя опредѣленія перемѣнныхъ величинъ, такъ называемые коефиціенты, хотя и присущіе приращенію и его степенямъ, составляющимъ порядокъ ряда и причастнымъ различнымъ коефиціентамъ. При этомъ слѣдуетъ замѣтить, что хотя приращеніе, не имѣющее опредѣленнаго количества, принимается лишь для цѣлей развитія, но было бы всего умѣстнѣе обозначить его единицею (1), такъ какъ она постоянно повторяется въ развитіи, только какъ множитель, при чемъ именно множитель единица достигаетъ той цѣли, что черезъ приращеніе не получается никакой количественной опредѣленности и измѣненія; между тѣмъ какъ dx, сопровождаемый ложнымъ представленіемъ нѣкоторой количественной разности, и другіе знаки, напримѣръ і, имѣющіе здѣсь безполезную видимость общности, всегда сопровождаются показностыо и притязаніемъ какого-то опредѣленнаго количества и его степеней; каковое притязаніе вызываетъ затрудненія отбросить ихъ и пренебречь ими. Для сохраненія формы ряда, развернутаго по степенямъ обозначенія показателей, послѣдніе какъ знаки (iudices) могли бы съ такимъ же удобствомъ быть присоединямы и къ единицѣ. Но сверхъ того должно отвлечь и отъ ряда, и отъ опредѣленія коефиціентовъ по мѣсту, занимаемому ими въ ряду, такъ какъ отношеніе между всѣми ими одно и то же; вторая функція выводится изъ первой точно также, какъ первая изъ первоначальной функціи, и для той, которая считается второю, первая производная функція есть опять-таки первоначальная. По существу же интересъ направляется не на рядъ, но единственно на получаемое черезъ развитіе степенное опредѣленіе въ его отношеніи къ ближайшей къ нему величинѣ. Поэтому вмѣсто того, чтобы считать это опредѣленіе коефиціентомъ перваго члена развитія, было бы предпочтительнѣе, такъ какъ каждый членъ есть первый относительно слѣдующихъ за нимъ членовъ ряда, считать такую степень степенью приращенія, или поскольку самые ряды не имѣютъ здѣсь значенія, употреблять выраженіе производная степенная функція или, какъ сказано выше, функція возвышенія величины въ степень; при чемъ признается за извѣстное, какимъ путемъ совершается выводъ, какъ заключенное внутри нѣкоторой степени развитіе.
Но если въ этой части аналитики собственно-математическое начало есть не что иное, какъ нахожденіе функціи, опредѣленной черезъ степенное развитіе, то является дальнѣйшій вопросъ, что должно предпринять съ полученнымъ такимъ образомъ отношеніемъ, въ чемъ его примѣненіе и употребленіе, или, на самомъ дѣлѣ, для какой цѣли отыскиваются такія функціи. Дифференціальное исчисленіе вызвало къ себѣ большой интересъ черезъ нахожденіе такихъ отношеній между конкретными предметами, которыя сводятся къ этимъ отвлеченнымъ аналитическимъ отношеніямъ. Относительно же приложимости оказывается ближайшимъ образомъ по самой природѣ вещей, не касаясь покуда еще самихъ случаевъ приложенія, при помощи вышеуказан
в том, чтобы быть вспомогательным средством раскрытия ряда; то, к чему по признанию, определеннее всего выраженному Эйлером и Ла-гранжем, а также подразумеваемому вышеупомянутым представлением о пределе, стремятся в этом случае, суть лишь получающиеся при этом степенные определения переменных величин, так называемые коефициенты, хотя и присущие приращению и его степеням, составляющим порядок ряда и причастным различным коефициентам. При этом следует заметить, что хотя приращение, не имеющее определенного количества, принимается лишь для целей развития, но было бы всего уместнее обозначить его единицею (1), так как она постоянно повторяется в развитии, только как множитель, при чём именно множитель единица достигает той цели, что через приращение не получается никакой количественной определенности и изменения; между тем как dx, сопровождаемый ложным представлением некоторой количественной разности, и другие знаки, например і, имеющие здесь бесполезную видимость общности, всегда сопровождаются показностыо и притязанием какого-то определенного количества и его степеней; каковое притязание вызывает затруднения отбросить их и пренебречь ими. Для сохранения формы ряда, развернутого по степеням обозначения показателей, последние как знаки (iudices) могли бы с таким же удобством быть присоединямы и к единице. Но сверх того должно отвлечь и от ряда, и от определения коефициентов по месту, занимаемому ими в ряду, так как отношение между всеми ими одно и то же; вторая функция выводится из первой точно также, как первая из первоначальной функции, и для той, которая считается второю, первая производная функция есть опять-таки первоначальная. По существу же интерес направляется не на ряд, но единственно на получаемое через развитие степенное определение в его отношении к ближайшей к нему величине. Поэтому вместо того, чтобы считать это определение коефициентом первого члена развития, было бы предпочтительнее, так как каждый член есть первый относительно следующих за ним членов ряда, считать такую степень степенью приращения, или поскольку самые ряды не имеют здесь значения, употреблять выражение производная степенная функция или, как сказано выше, функция возвышения величины в степень; при чём признается за известное, каким путем совершается вывод, как заключенное внутри некоторой степени развитие.
Но если в этой части аналитики собственно-математическое начало есть не что иное, как нахождение функции, определенной через степенное развитие, то является дальнейший вопрос, что должно предпринять с полученным таким образом отношением, в чём его применение и употребление, или, на самом деле, для какой цели отыскиваются такие функции. Дифференциальное исчисление вызвало к себе большой интерес через нахождение таких отношений между конкретными предметами, которые сводятся к этим отвлеченным аналитическим отношениям. Относительно же приложимости оказывается ближайшим образом по самой природе вещей, не касаясь покуда еще самих случаев приложения, при помощи вышеуказан
