Страница:Гегель Г.В.Ф. - Наука логики. Т. 1 - 1916.djvu/223

Эта страница не была вычитана
— 186 —

приложенію. Въ концѣ концовъ, нужно разработать еще далѣе теоретическую сторону, опредѣленность понятія, которая сама по себѣ не окажется безплодною; затѣмъ должно разсмотрѣть отношеніе ея къ ея приложенію, и какъ въ томъ, такъ и въ другомъ случаѣ показать, насколько это здѣсь умѣстно, что получающіеся общіе выводы соотвѣтствуютъ тому, чѣмъ занимается дифференціальное исчисленіе, и тому способу, которымъ оно пользуется.

Прежде всего слѣдуетъ напомнить о томъ, что форма, свойственная въ математикѣ разсматриваемой теперь опредѣленности понятія, уже болѣе или менѣе изъяснена. Качественная опредѣленность количественнаго, во-первыхъ, вообще обнаружена въ количественномъ отношеніи, но уже при разсмотрѣніи различныхъ такъ называемыхъ дѣйствій счета (ср. соотв. примѣч.) было предусмотрѣно, что подлежащее еще потомъ въ своемъ мѣстѣ разсмотрѣнію степенное отношеніе есть то, въ чемъ число черезъ приравненіе моментовъ своего понятія, единицы и опредѣленнаго числа, положено, какъ возвратившееся къ себѣ, и что тѣмъ самымъ въ немъ содержится моментъ безконечности, бытія для себя, т.-е. опредѣленія самимъ собою. Ясно выраженная качественная опредѣленность величинъ присуща поэтому, какъ также было указано, существеннымъ образомъ степеннымъ опредѣленіямъ, и такъ какъ специфическая особенность дифференціальнаго исчисленія состоитъ въ дѣйствіяхъ надъ качественными формами величинъ, то свойственный ему математическій предметъ состоитъ въ обращеніи съ формами степеней, и всѣ задачи и ихъ рѣшенія, съ которыми имѣетъ дѣло дифференціальное исчисленіе, показываютъ, что интересъ сосредоточивается въ нихъ единственно на разработкѣ степенныхъ опредѣленій.

Какъ ни важна эта основа, и хотя она сейчасъ же выдвигаетъ на первое мѣсто нѣчто опредѣленное вмѣсто совершенно формальныхъ категорій перемѣнныхъ, непрерывныхъ или безконечныхъ величинъ и т. п., или функцій вообще, но она еще слишкомъ обща, съ тѣмъ же имѣютъ дѣло и другія дѣйствія; уже возвышеніе въ степень и извлеченіе корней, за симъ ученіе о показательныхъ величинахъ и логариѳмахъ, ряды, уравненія высшихъ степеней имѣютъ интересъ и приложеніе также лишь къ отношеніямъ, основаннымъ на степеняхъ. Безъ сомнѣнія, все это въ своей совокупности составляетъ систему ученія о степеняхъ; но какія именно изъ различныхъ отношеній, въ коихъ положены степенныя опредѣленія, суть тѣ, которыя составляютъ собственный предметъ и интересъ для дифференціальнаго исчисленія, это должно быть выведено изъ него самого, т.-е. изъ такъ называемыхъ его приложеній. Послѣднія и составляютъ поистинѣ самую суть дѣла, дѣйствительный пріемъ математическаго разрѣшенія извѣстнаго круга задачъ; этотъ пріемъ возникъ ранѣе, чѣмъ теорія или общая часть, и былъ впослѣдствіи названъ приложеніемъ лишь въ виду позднѣе созданной теоріи, которая имѣла цѣлью установить его общій методъ, а также дать ему принципы, т.-е. оправданіе. Какъ тщетно было стараніе найти при современномъ пониманіи этого пріема такіе принципы, которые дѣйствительно разрѣшали бы возникающее при этомъ противорѣчіе, а не извиняли бы или прикрывали бы


Тот же текст в современной орфографии

приложению. В конце концов, нужно разработать еще далее теоретическую сторону, определенность понятия, которая сама по себе не окажется бесплодною; затем должно рассмотреть отношение её к её приложению, и как в том, так и в другом случае показать, насколько это здесь уместно, что получающиеся общие выводы соответствуют тому, чем занимается дифференциальное исчисление, и тому способу, которым оно пользуется.

Прежде всего следует напомнить о том, что форма, свойственная в математике рассматриваемой теперь определенности понятия, уже более или менее изъяснена. Качественная определенность количественного, во-первых, вообще обнаружена в количественном отношении, но уже при рассмотрении различных так называемых действий счета (ср. соотв. примеч.) было предусмотрено, что подлежащее еще потом в своем месте рассмотрению степенное отношение есть то, в чём число через приравнение моментов своего понятия, единицы и определенного числа, положено, как возвратившееся к себе, и что тем самым в нём содержится момент бесконечности, бытия для себя, т. е. определения самим собою. Ясно выраженная качественная определенность величин присуща поэтому, как также было указано, существенным образом степенным определениям, и так как специфическая особенность дифференциального исчисления состоит в действиях над качественными формами величин, то свойственный ему математический предмет состоит в обращении с формами степеней, и все задачи и их решения, с которыми имеет дело дифференциальное исчисление, показывают, что интерес сосредоточивается в них единственно на разработке степенных определений.

Как ни важна эта основа, и хотя она сейчас же выдвигает на первое место нечто определенное вместо совершенно формальных категорий переменных, непрерывных или бесконечных величин и т. п., или функций вообще, но она еще слишком обща, с тем же имеют дело и другие действия; уже возвышение в степень и извлечение корней, за сим учение о показательных величинах и логарифмах, ряды, уравнения высших степеней имеют интерес и приложение также лишь к отношениям, основанным на степенях. Без сомнения, всё это в своей совокупности составляет систему учения о степенях; но какие именно из различных отношений, в коих положены степенные определения, суть те, которые составляют собственный предмет и интерес для дифференциального исчисления, это должно быть выведено из него самого, т. е. из так называемых его приложений. Последние и составляют поистине самую суть дела, действительный прием математического разрешения известного круга задач; этот прием возник ранее, чем теория или общая часть, и был впоследствии назван приложением лишь в виду позднее созданной теории, которая имела целью установить его общий метод, а также дать ему принципы, т. е. оправдание. Как тщетно было старание найти при современном понимании этого приема такие принципы, которые действительно разрешали бы возникающее при этом противоречие, а не извиняли бы или прикрывали бы