Страница:Гегель Г.В.Ф. - Наука логики. Т. 1 - 1916.djvu/218

Эта страница не была вычитана
— 181 —

функція; объ этомъ будетъ сказано во второмъ примѣчаніи. Здѣсь же слѣдуетъ ближайшимъ образомъ разобраться въ той запутанности, которая вносится черезъ вышеуказанное столь часто встрѣчающееся въ изложеніяхъ употребленіе представленія приближенія въ пониманіе собственной качественной опредѣленности отношенія.

Было указано, что такъ называемыя безконечно-малыя разности выражаютъ собою исчезаніе членовъ отношенія, какъ количествъ, и что, то, что остается за симъ, есть ихъ количественное отношеніе лишь постольку, поскольку оно опредѣлено качественно; качественное отношеніе при этомъ въ такой мѣрѣ сохраняется, что оно оказывается именно тѣмъ, что возникаетъ черезъ переходъ конечныхъ величинъ въ безконечныя. Въ этомъ состоитъ, какъ мы видѣли, вся суть дѣла. Такъ, напр., въ послѣднемъ отношеніи, исчезаютъ, какъ количества, абсцисса и ордината; но члены этого отношенія остаются по существу одинъ — элементомъ ординаты, другой — элементомъ абсциссы. По обычному способу представленія, состоящему въ томъ, что одна ордината безконечно приближается къ другой, первая ордината переходитъ во вторую, а соотвѣтствующая первой абсцисса — въ соотвѣтствующую второй; но во всякомъ случаѣ ордината не переходитъ въ абсциссу, а абсцисса въ ординату. Но элементъ ординаты, если оставаться при этомъ примѣрѣ перемѣнныхъ величинъ, долженъ быть понимаемъ, не какъ разность одной ординаты отъ другой, а какъ различеніе или качественно-количественное опредѣленіе относительно элемента абсциссы; принципъ одной перемѣнной величины относительно другой проявляется въ ихъ взаимномъ отношеніи. Различеніе, поскольку оно не есть уже различеніе конечныхъ величинъ, перестало быть многообразнымъ внутри себя самого; оно совпало въ простую интенсивность, въ опредѣленность одного качественнаго момента отношенія относительно другого.

Эта суть дѣла затемняется, однако, тѣмъ, что то, что, называется элементомъ, положимъ, ординаты, понимается, какъ разность или приращеніе, какъ будто оно есть только количественное различеніе одной ординаты отъ другой. Предѣлъ тѣмъ самымъ не имѣетъ смысла отношенія: онъ означаетъ лишь то послѣднее значеніе, къ которому другая однородная величина постоянно приближается такъ, что она можетъ отличаться отъ него на наименьшую желаемую величину, и что послѣднее отношеніе есть отношеніе равенства. Такимъ образомъ, безконечно-малая разность оказывается какъ бы видимостью различія одного опредѣленнаго количества отъ другого, и представленіе качественной природы, ио которой dx есть по существу не опредѣленіе отношенія его къ х, но къ dy, отступаетъ назадъ, dx2 исчезаетъ передъ dx, но также исчезаетъ dx передъ х, что по истинѣ значитъ, что dx имѣетъ отношеніе лишь къ dy. При такомъ изложеніи дѣла геометры стараются преимущественно о томъ, чтобы сдѣлать понятнымъ приближеніе нѣкоторой величины въ ея предѣлу и остановиться на такомъ различеніи опредѣленнаго количества отъ опредѣленнаго количества, которое уже не есть различеніе и вмѣстѣ съ тѣмъ есть различеніе. Но приближеніе есть для себя, помимо того, ничего не говорящая и ничего не объясняющая категорія; dx имѣетъ приближеніе уже за


Тот же текст в современной орфографии

функция; об этом будет сказано во втором примечании. Здесь же следует ближайшим образом разобраться в той запутанности, которая вносится через вышеуказанное столь часто встречающееся в изложениях употребление представления приближения в понимание собственной качественной определенности отношения.

Было указано, что так называемые бесконечно-малые разности выражают собою исчезание членов отношения, как количеств, и что, то, что остается за сим, есть их количественное отношение лишь постольку, поскольку оно определено качественно; качественное отношение при этом в такой мере сохраняется, что оно оказывается именно тем, что возникает через переход конечных величин в бесконечные. В этом состоит, как мы видели, вся суть дела. Так, напр., в последнем отношении, исчезают, как количества, абсцисса и ордината; но члены этого отношения остаются по существу один — элементом ординаты, другой — элементом абсциссы. По обычному способу представления, состоящему в том, что одна ордината бесконечно приближается к другой, первая ордината переходит во вторую, а соответствующая первой абсцисса — в соответствующую второй; но во всяком случае ордината не переходит в абсциссу, а абсцисса в ординату. Но элемент ординаты, если оставаться при этом примере переменных величин, должен быть понимаем, не как разность одной ординаты от другой, а как различение или качественно-количественное определение относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины относительно другой проявляется в их взаимном отношении. Различение, поскольку оно не есть уже различение конечных величин, перестало быть многообразным внутри себя самого; оно совпало в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения относительно другого.

Эта суть дела затемняется, однако, тем, что то, что, называется элементом, положим, ординаты, понимается, как разность или приращение, как будто оно есть только количественное различение одной ординаты от другой. Предел тем самым не имеет смысла отношения: он означает лишь то последнее значение, к которому другая однородная величина постоянно приближается так, что она может отличаться от него на наименьшую желаемую величину, и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом, бесконечно-малая разность оказывается как бы видимостью различия одного определенного количества от другого, и представление качественной природы, ио которой dx есть по существу не определение отношения его к х, но к dy, отступает назад, dx2 исчезает перед dx, но также исчезает dx перед х, что по истине значит, что dx имеет отношение лишь к dy. При таком изложении дела геометры стараются преимущественно о том, чтобы сделать понятным приближение некоторой величины в её пределу и остановиться на таком различении определенного количества от определенного количества, которое уже не есть различение и вместе с тем есть различение. Но приближение есть для себя, помимо того, ничего не говорящая и ничего не объясняющая категория; dx имеет приближение уже за