л ости опускаемыхъ членовъ сравнительно съ другими. Онъ оправдываетъ методъ болѣе фактомъ правильности его результатовъ и пользою, приносимою для упрощенія и сокращенія вычисленія употребленіемъ, какъ онъ ихъ называетъ, несовершенныхъ уравненій, т.-е. такихъ, въ которыхъ допущено такое ариѳметически-невѣрное опущеніе, чѣмъ природою самого дѣла.
Лагранжъ, какъ извѣстно, вновь прибѣгъ къ первоначальному методу Ньютона, методу рядовъ, для того, чтобы преодолѣть трудности, связанныя какъ съ представленіемъ безконечно-малыхъ, такъ и съ методами первыхъ и послѣднихъ отношеній и предѣловъ. Достаточно привести изъ его ученія о функціяхъ, преимущества котораго въ отношеніи точности, отвлеченности и всеобщности признаны впрочемъ въ достаточной мѣрѣ, что оно покоится на томъ основоположеніи, что разность, не становясь нулемъ, можетъ быть принята столь малою, чтобы каждый членъ былъ болѣе суммы всѣхъ остальныхъ членовъ. При этомъ методѣ также начинаютъ съ категорій приращенія и разности функцій, перемѣнная величина которой содержитъ приращеніе первоначальной функціи, съ которымъ является докучный рядъ; равно какъ въ дальнѣйшемъ отбрасываемые члены ряда принимаются въ соображеніе, лишь какъ сумма, и основаніе, почему они отбрасываются, полагается въ относительности ихъ опредѣленнаго количества. Отбрасываніе, стало-быть, н здѣсь опредѣляется вообще не тою точкою зрѣнія, которая отчасти имѣетъ мѣсто при нѣкоторыхъ приложеніяхъ, при которыхъ, какъ упомянуто выше, члены ряда должны имѣть опредѣленное качественное значеніе и оставляются безъ вниманія не потому, что они незначительны по величинѣ, но потому, что они незначительны по качеству; отчасти же отбрасываніе зависитъ отъ той существенной точки зрѣнія, которая опредѣленно выступаетъ относительно такъ называемыхъ дифференціальныхъ коефиціентовъ лишь въ такъ называемомъ приложеніи дифференціальнаго исчисленія у Лагранжа, о чемъ еще будетъ говориться подробнѣе въ слѣдующемъ примѣчаніи.
Качественный характеръ вообще оказывается свойственъ разсматриваемой здѣсь формѣ величины, которая называется безконечно-малымъ, что обнаруживается всего непосредственнѣе въ вышеприведенной категоріи предѣла отношенія; это ея проведеніе въ исчисленіи образуетъ своеобразный методъ. Изъ того, что говоритъ Лагранжъ по поводу этого метода, именно что ему недостаетъ легкости приложенія, и что выраженіе предѣлъ не вызываетъ опредѣленной идеи, мы остановимся на второмъ и разсмотримъ ближе его аналитическое значеніе. Въ представленіи предѣла именно и заключается вышеуказанная истинная категорія качественнаго опредѣленія отношенія между перемѣнными величинами, ибо входящія въ него формы ихъ, dx и dy, должны быть взяты просто лишь какъ моменты и самоедолжно считаться единымъ нераздѣльнымъ означеніемъ. Здѣсь нужно оставить въ сторонѣ то обстоятельство, что тѣмъ самымъ механизмъ исчисленія особенно въ его приложеніи утрачиваетъ преимущество, извлекаемое имъ изъ того, что члены дифференціальнаго коефиціента отдѣляются одинъ отъ другого. Этотъ предѣлъ
л ости опускаемых членов сравнительно с другими. Он оправдывает метод более фактом правильности его результатов и пользою, приносимою для упрощения и сокращения вычисления употреблением, как он их называет, несовершенных уравнений, т. е. таких, в которых допущено такое арифметически-неверное опущение, чем природою самого дела.
Лагранж, как известно, вновь прибег к первоначальному методу Ньютона, методу рядов, для того, чтобы преодолеть трудности, связанные как с представлением бесконечно-малых, так и с методами первых и последних отношений и пределов. Достаточно привести из его учения о функциях, преимущества которого в отношении точности, отвлеченности и всеобщности признаны впрочем в достаточной мере, что оно покоится на том основоположении, что разность, не становясь нулем, может быть принята столь малою, чтобы каждый член был более суммы всех остальных членов. При этом методе также начинают с категорий приращения и разности функций, переменная величина которой содержит приращение первоначальной функции, с которым является докучный ряд; равно как в дальнейшем отбрасываемые члены ряда принимаются в соображение, лишь как сумма, и основание, почему они отбрасываются, полагается в относительности их определенного количества. Отбрасывание, стало быть, н здесь определяется вообще не тою точкою зрения, которая отчасти имеет место при некоторых приложениях, при которых, как упомянуто выше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и оставляются без внимания не потому, что они незначительны по величине, но потому, что они незначительны по качеству; отчасти же отбрасывание зависит от той существенной точки зрения, которая определенно выступает относительно так называемых дифференциальных коефициентов лишь в так называемом приложении дифференциального исчисления у Лагранжа, о чём еще будет говориться подробнее в следующем примечании.
Качественный характер вообще оказывается свойствен рассматриваемой здесь форме величины, которая называется бесконечно-малым, что обнаруживается всего непосредственнее в вышеприведенной категории предела отношения; это её проведение в исчислении образует своеобразный метод. Из того, что говорит Лагранж по поводу этого метода, именно что ему недостает легкости приложения, и что выражение предел не вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим ближе его аналитическое значение. В представлении предела именно и заключается вышеуказанная истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами, ибо входящие в него формы их, dx и dy, должны быть взяты просто лишь как моменты и самоедолжно считаться единым нераздельным означением. Здесь нужно оставить в стороне то обстоятельство, что тем самым механизм исчисления особенно в его приложении утрачивает преимущество, извлекаемое им из того, что члены дифференциального коефициента отделяются один от другого. Этот предел
