{{ВАР |какъ и наивысіпими степенями, лишь потому что онѣ могутъ считаться исчезающими относительно низшихъ степеней. У всѣхъ нихъ это является единственнымъ основоположеніемъ, именно опредѣленіемъ того, что такое дифференціальныя прозведенія или степени, ибо къ этому сводится все теоретическое ученіе. Прочее есть отчасти механизмъ дѣйствій, отчасти приложеніе, къ которымъ однако, какъ будетъ Показано далѣе, въ дѣй-свительности и сводится главный или, правильнѣе сказать, единственный интересъ. Въ настоящее время достаточно провести лишь, элементарное положеніе, что по тому же основанію незначительности, какъ главнаго положенія, касающагося кривыхъ, признается, что элементы кривыхъ, именно приращенія абсциссы и ординаты, имѣютъ между собой то же отношеніе, какъ подкасательная и ордината; съ цѣлью получить подобные треугольники дуга, составляющая съ обоими нрирожденіями третью сторону треугольника, правильно названнаго передъ тѣмъ характеристическимъ треугольникомъ, принимается за прямую линію, за часть касательной, и потому одно изъ приращеній за доходящее до касательной. Эгими допущеніями опредѣленія съ одной стороны возвышаются надъ свойствами конечныхъ величинъ; но съ другой стороны къ признаваемымъ за безконечные моментамъ примѣняется пріемъ, правомѣрный лишь от носительно конечныхъ величинъ, при которомъ мы не имѣемъ права ничѣмъ пренебрегать по причинѣ незначительности. Затрудненіе, тяготѣющее надъ методомъ, остается при такомъ образѣ дѣйствія во всей своей силѣ.
Здѣсь нужно указать на замѣчательный пріемъ Ньютона (Prin. math.
phil. nat. lib. II lemma II послѣ propos VII); онъ изобрѣлъ остроумный
фокусъ (Kunststück) для устраненія ариѳметически-неправильнаго пренебреженія
произведеніями безконечно-малыхъ разностей и высшими ихъ порядками при
нахожденіи дифференціаловъ. Онъ находитъ дифференціалъ произведенія — изъ
котораго легко потомъ вывести дифференціалы частнаго, степени и т. п. —
слѣдующимъ путемъ. Произведеніе х и у, если уменьшить каждый множитель
> " xdu udx, dxdu
наполовину его безконечно-малой разности, есть ху--" — 4’ если
. s , xdu, udx, dxdu
же увеличить его настолько же, то произведеніе будетъ — 4
Если отъ этого произведенія отнять первое, то получится разность ydx -+- xdy, которая есть приращеніе на цѣлые дхи ду, такъ какъ на эту величину различаются оба произведенія; слѣдовательно это дифференціалъ ху. Какъ видно, при этомъ самъ собою отпадаетъ членъ, представлявшій главное затрудненіе, произведеніе обѣихъ безконечно-малыхъ разностей дхду. Но несмотря на имя Ньютона, слѣдуетъ сказать, что это, хотя и весьма элементарное, дѣйствіе невѣрно.
Невѣрно, будто (" + -§) ("/ + "іг) — (я — (у — ^f-)=(x+dx) (y-j-dy) — ху *). Лишь потребность, при важности исчисленія флюксій,
Первая часть этого равенства есть xdy+ydx, а вторая xdy-{-ydx-\-dxdy, т.-е. для того, чтобы было равенство, все же требуется пренебречь членомъ dxdy, между тѣмъ какъ по доказательству Ньютона онъ долженъ самъ собою отпасть. — Лрим. переводч. |как и наивысипими степенями, лишь потому что они могут считаться исчезающими относительно низших степеней. У всех них это является единственным основоположением, именно определением того, что такое дифференциальные прозведения или степени, ибо к этому сводится всё теоретическое учение. Прочее есть отчасти механизм действий, отчасти приложение, к которым однако, как будет Показано далее, в дей-свительности и сводится главный или, правильнее сказать, единственный интерес. В настоящее время достаточно провести лишь, элементарное положение, что по тому же основанию незначительности, как главного положения, касающегося кривых, признается, что элементы кривых, именно приращения абсциссы и ординаты, имеют между собой то же отношение, как подкасательная и ордината; с целью получить подобные треугольники дуга, составляющая с обоими нрирождениями третью сторону треугольника, правильно названного перед тем характеристическим треугольником, принимается за прямую линию, за часть касательной, и потому одно из приращений за доходящее до касательной. Эгими допущениями определения с одной стороны возвышаются над свойствами конечных величин; но с другой стороны к признаваемым за бесконечные моментам применяется прием, правомерный лишь от носительно конечных величин, при котором мы не имеем права ничем пренебрегать по причине незначительности. Затруднение, тяготеющее над методом, остается при таком образе действия во всей своей силе.
Здесь нужно указать на замечательный прием Ньютона (Prin. math.
phil. nat. lib. II lemma II после propos VII); он изобрел остроумный
фокус (Kunststück) для устранения арифметически-неправильного пренебрежения
произведениями бесконечно-малых разностей и высшими их порядками при
нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения — из
которого легко потом вывести дифференциалы частного, степени и т. п. —
следующим путем. Произведение х и у, если уменьшить каждый множитель
> " xdu udx, dxdu
наполовину его бесконечно-малой разности, есть ху--" — 4’ если
. s , xdu, udx, dxdu
же увеличить его настолько же, то произведение будет — 4
Если от этого произведения отнять первое, то получится разность ydx -+- xdy, которая есть приращение на целые дхи ду, так как на эту величину различаются оба произведения; следовательно это дифференциал ху. Как видно, при этом сам собою отпадает член, представлявший главное затруднение, произведение обеих бесконечно-малых разностей дхду. Но несмотря на имя Ньютона, следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неверно.
Неверно, будто (" + -§) ("/ + "иг) — (я — (у — ^f-)=(x+dx) (y-j-dy) — ху *). Лишь потребность, при важности исчисления флюксий,
Первая часть этого равенства есть xdy+ydx, а вторая xdy-{-ydx-\-dxdy, т. е. для того, чтобы было равенство, всё же требуется пренебречь членом dxdy, между тем как по доказательству Ньютона он должен сам собою отпасть. — Лрим. переводч. }}
