женія и т. п., примѣняемыя къ природѣ конечныхъ величинъ, и тѣмъ самымъ хотя бы на мгновеніе признать первыя величины конечными и обращаться съ первыми, какъ со вторыми. Требовалось бы оправдать исчисленіе въ томъ, что оно съ одной стороны понижаетъ безконечныя величины въ сферу конечности и обращается съ ними, какъ съ приращеніями или разностями, а съ другой стороны, примѣнивъ къ нимъ формы и законы конечныхъ величинъ, пренебрегаетъ ими, какъ опредѣленными количествами.
Я привожу еще наиболѣе существенное о попыткахъ геометровъ устранить зти затрудненія.
Болѣе старые аналитики не затрудняли себя по этому поводу большими сомнѣніями; но старанія болѣе новыхъ были направлены главнымъ образомъ къ тому, чтобы привести исчисленіе безконечныхъ къ очевидности собственно-геометрическаго метода и достигнуть въ математикѣ строгости доказательствъ древнихъ (выраженія Лагранжа). Но такъ какъ принципъ анализа безконечныхъ выше, чѣмъ принципъ математики конечныхъ величинъ, то первый самъ собою немедленно долженъ былъ отказаться отъ этого рода очевидности; подобно тому, какъ философія не можетъ притязать на такую отчетливость, какую имѣютъ науки о чувственномъ, напр., естествознаніе, или какъ ѣда или питье считаются за болѣе разсудительныя занятія, чѣмъ мышленіе и пониманіе. Поэтому можно говорить лишь о стараніи достигнуть строгости доказательствъ древнихъ.
Многіе пытались совершенно обойтись безъ понятія безконечнаго и достигнуть безъ него тѣхъ же результатовъ, какіе достигаются при его употребленіи. Лагранжъ говоритъ, напримѣръ, о методѣ, изобрѣтенномъ Ланденомъ, и объясняетъ, что этотъ методъ совершенно аналитическій и не прибѣгаетъ къ безконечно-малымъ разностямъ, но сначала вводитъ различныя значенія перемѣнныхъ величинъ, а потомъ приравниваетъ ихъ между собою. Впрочемъ, Лагранжъ заявляетъ, что при этомъ утрачиваются преимущества, свойственныя дифференціальному исчисленію, — простота метода и легкость дѣйствій. Этому пріему отчасти соотвѣтствуетъ тотъ, отъ котораго исходитъ Декартъ въ своемъ методѣ касательныхъ, о коемъ будетъ еще подробнѣе сказано далѣе. Здѣсь можно замѣтить, — что и теиерь уже въ общемъ ясно, — что вообще методъ, состоящій въ томъ, чтобы придавать различныя значенія перемѣннымъ величинамъ и затѣмъ приравнивать ихъ одну другой, принадлежитъ другому кругу математическихъ соображеній, чѣмъ методъ самого дифференціальнаго исчисленія, и что первымъ не обращается вниманія на подлежащую далѣе •ближайшему разсмотрѣнію особенность того простого отношенія, къ которому приводится его истинно-конкретное опредѣленіе, — именно отношенія производной функціи къ первоначальной.
Старѣйшіе изъ новыхъ, напр., Ферма, Барроу и др., которые впервые воспользовались примѣненіемъ безконечно-малыхъ къ тому, что впослѣдствіи выработалось въ дифференціальное и интегральное исчисленіе, затѣмъ также .Лейбницъ и др., равнымъ образомъ Эйлеръ, постоянно открыто признавали .возможнымъ пренебрегать произведеніями безконечно-малыхъ разностей такъ же,
жения и т. п., применяемые к природе конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признать первые величины конечными и обращаться с первыми, как со вторыми. Требовалось бы оправдать исчисление в том, что оно с одной стороны понижает бесконечные величины в сферу конечности и обращается с ними, как с приращениями или разностями, а с другой стороны, применив к ним формы и законы конечных величин, пренебрегает ими, как определенными количествами.
Я привожу еще наиболее существенное о попытках геометров устранить зти затруднения.
Более старые аналитики не затрудняли себя по этому поводу большими сомнениями; но старания более новых были направлены главным образом к тому, чтобы привести исчисление бесконечных к очевидности собственно-геометрического метода и достигнуть в математике строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Но так как принцип анализа бесконечных выше, чем принцип математики конечных величин, то первый сам собою немедленно должен был отказаться от этого рода очевидности; подобно тому, как философия не может притязать на такую отчетливость, какую имеют науки о чувственном, напр., естествознание, или как еда или питье считаются за более рассудительные занятия, чем мышление и понимание. Поэтому можно говорить лишь о старании достигнуть строгости доказательств древних.
Многие пытались совершенно обойтись без понятия бесконечного и достигнуть без него тех же результатов, какие достигаются при его употреблении. Лагранж говорит, например, о методе, изобретенном Ланденом, и объясняет, что этот метод совершенно аналитический и не прибегает к бесконечно-малым разностям, но сначала вводит различные значения переменных величин, а потом приравнивает их между собою. Впрочем, Лагранж заявляет, что при этом утрачиваются преимущества, свойственные дифференциальному исчислению, — простота метода и легкость действий. Этому приему отчасти соответствует тот, от которого исходит Декарт в своем методе касательных, о коем будет еще подробнее сказано далее. Здесь можно заметить, — что и теиерь уже в общем ясно, — что вообще метод, состоящий в том, чтобы придавать различные значения переменным величинам и затем приравнивать их одну другой, принадлежит другому кругу математических соображений, чем метод самого дифференциального исчисления, и что первым не обращается внимания на подлежащую далее •ближайшему рассмотрению особенность того простого отношения, к которому приводится его истинно-конкретное определение, — именно отношения производной функции к первоначальной.
Старейшие из новых, напр., Ферма, Барроу и др., которые впервые воспользовались применением бесконечно-малых к тому, что впоследствии выработалось в дифференциальное и интегральное исчисление, затем также .Лейбниц и др., равным образом Эйлер, постоянно открыто признавали .возможным пренебрегать произведениями бесконечно-малых разностей так же,
