мать такъ, что послѣдній имѣетъ совершенную отличную отъ нея природу, именно, какъ было объяснено, что онъ есть возвратъ копечной функціи къ качественному отношенію ея количественныхъ опредѣленій. Съ другой стороны ошибочнымъ оказывается и то, когда говорятъ, что приращенія суть для себя нули, что слѣдуетъ принимать въ разсчетъ лишь ихъ отношенія; ибо нуль вообще не имѣетъ никакой опредѣленности. Хотя это представленіе и доходитъ такимъ образомъ до отрицанія количественнаго и опредѣленно высказываетъ его, но оно не схватываетъ этого отрицанія вмѣстѣ и въ его положительномъ значеніи качественно-количественныхъ опредѣленій, которыя становятся нулями, лишь будучи вырваны изъ отношенія и приняты за опредѣленныя количества.
Лагранжъ (Theorie des fonct. analyt. Introduction) говоритъ о представленіи предѣльныхъ или послѣднихъ отношеній, что если и возможно представить себѣ отношеніе двухъ величинъ, покуда онѣ остаются конечными, то въ разсудкѣ не получается никакого отчетливаго и опредѣленнаго понятія объ этомъ отношеніи, коль скоро его члены остановятся нулями. Дѣйствительно, разсудокъ долженъ возвыситься надъ тѣмъ иростымъ отрицаніемъ, по которому члены отношенія, какъ опредѣленныя количества, суть нули, и понять ихъ положительно, какъ качественные моменты. А то, что Эйлеръ (тамъ же § 84 и сл.) прибавляетъ далѣе относительно даннаго имъ опредѣленія для того, чтобы показать, что двѣ такъ называемыя бозкопечно-малыя величины, которыя должны быть не чѣмъ инымъ, какъ нулями, находятся однако во взаимномъ отношеніи и потому для нихъ допустимы не только знакъ нуля, но и другіе знаки, не можетъ считаться удовлетворяющимъ мысль. Онъ хочетъ обосновать это на различіи ариѳметическаго и геометрическаго отношенія; при первомъ мы обращаемъ вниманіе на разность, при второмъ — на частное, п хотя первая между двумя нулями также равна нулю, но этого нельзя сказать о геометрическомъ отношеніи; если 2 :1 = О : О, то по свойству пропорціи, такъ какъ первый членъ вдвое болѣе второго, и третій членъ долженъ быть вдвое болѣе четвертаго; потому на основаніи этой пропорціи отношеніе 0:0 должно быть равно отношенію 2:1. Такъ и по обычной ариѳметикѣ п: О — 1:0 х), слѣдовательно, п: 1 = О : 0. Однако именно потому что 2:1 или п: 1 есть отношеніе опредѣленныхъ количествъ, ему не соотвѣтствуетъ ни отношеніе, ни обозначеніе О: О.
Я воздерживаюсь отъ дальнѣйшихъ ссылокъ, такъ какъ сказанное въ достаточной степени обнаруживаетъ, что онѣ, безъ сомнѣнія, имѣютъ дѣло съ истиннымъ понятіемъ безконечнаго, но что это понятіе не выдѣлено и не понято въ своей опредѣленности. Поэтому, когда совершается переходъ къ самимъ дѣйствіямъ, то нельзя ожидать, чтобы въ нихъ проявлялось истинное опредѣленіе понятія; напротивъ, въ немъ возвращаются къ конечной опредѣленности количества, и дѣйствіе не можетъ освободиться отъ представленія лишь относительно малаго. Исчисленіе приводитъ къ необходимости подвести такъ называемыя безконечныя величины подъ обычныя ариѳметическія дѣйствія Некорректный вызов шаблона→сло-
- ) У Гегеля сказано : О = О, что конечно, есть описка.
мать так, что последний имеет совершенную отличную от неё природу, именно, как было объяснено, что он есть возврат копечной функции к качественному отношению её количественных определений. С другой стороны ошибочным оказывается и то, когда говорят, что приращения суть для себя нули, что следует принимать в расчёт лишь их отношения; ибо нуль вообще не имеет никакой определенности. Хотя это представление и доходит таким образом до отрицания количественного и определенно высказывает его, но оно не схватывает этого отрицания вместе и в его положительном значении качественно-количественных определений, которые становятся нулями, лишь будучи вырваны из отношения и приняты за определенные количества.
Лагранж (Theorie des fonct. analyt. Introduction) говорит о представлении предельных или последних отношений, что если и возможно представить себе отношение двух величин, покуда они остаются конечными, то в рассудке не получается никакого отчетливого и определенного понятия об этом отношении, коль скоро его члены остановятся нулями. Действительно, рассудок должен возвыситься над тем иростым отрицанием, по которому члены отношения, как определенные количества, суть нули, и понять их положительно, как качественные моменты. А то, что Эйлер (там же § 84 и сл.) прибавляет далее относительно данного им определения для того, чтобы показать, что две так называемые бозкопечно-малые величины, которые должны быть не чем иным, как нулями, находятся однако во взаимном отношении и потому для них допустимы не только знак нуля, но и другие знаки, не может считаться удовлетворяющим мысль. Он хочет обосновать это на различии арифметического и геометрического отношения; при первом мы обращаем внимание на разность, при втором — на частное, п хотя первая между двумя нулями также равна нулю, но этого нельзя сказать о геометрическом отношении; если 2 :1 = О : О, то по свойству пропорции, так как первый член вдвое более второго, и третий член должен быть вдвое более четвертого; потому на основании этой пропорции отношение 0:0 должно быть равно отношению 2:1. Так и по обычной арифметике п: О — 1:0 х), следовательно, п: 1 = О : 0. Однако именно потому что 2:1 или п: 1 есть отношение определенных количеств, ему не соответствует ни отношение, ни обозначение О: О.
Я воздерживаюсь от дальнейших ссылок, так как сказанное в достаточной степени обнаруживает, что они, без сомнения, имеют дело с истинным понятием бесконечного, но что это понятие не выделено и не понято в своей определенности. Поэтому, когда совершается переход к самим действиям, то нельзя ожидать, чтобы в них проявлялось истинное определение понятия; напротив, в нём возвращаются к конечной определенности количества, и действие не может освободиться от представления лишь относительно малого. Исчисление приводит к необходимости подвести так называемые бесконечные величины под обычные арифметические действия Некорректный вызов шаблона→сло-
- ) У Гегеля сказано : О = О, что конечно, есть описка.
