конечно-малыхъ величинъ, связанное съ самыми приращеніемъ и убываніемъ. По этому представленію онѣ таковы, что не только онѣ относительно конечныхъ величинъ, но и высшіе ихъ порядки относительно низшихъ, а равно произведенія многихъ ихъ относительно одного, должны быть пренебрегаемы. У Лейбница особенно сильно выступаетъ это требованіе пренебреженія, находимое также и у предыдущихъ изобрѣтателей методовъ, касающихся сказанныхъ величинъ. Именно это обстоятельство сообщаетъ исчисленію, при выигрышѣ въ удобствѣ, видимость неточности и явной неправильности въ ходѣ его дѣйствій. По своему способу популяризовать вещи, т.-е. лишать чистоты ихъ понятій и замѣнять ихъ неправильными чувственными представленіями, Вольфъ пытался сдѣлать этотъ пріемъ понятнымъ для разсудка. А именно, онъ сравниваетъ пренебреженіе безконечно-малыми разностями высшихъ порядковъ относительно низшихъ съ образомъ дѣйствій геометра, измѣреніе которымъ высоты горы нисколько не дѣлается менѣе точнымъ, если вѣтеръ снесетъ песчинку съ ея вершины, или съ пренебреженіемъ высотою домовъ и башенъ при вычисленіяхъ луннаго затменія (Eiern, mathes. univ. Т. I. Gl. analys. math. p. II, С. I Schol.).
Если судъ обычнаго человѣческаго разсудка и допускаетъ такую неточность, то всѣ геометры, напротивъ, отвергаютъ ее. Само собою очевидно, что въ наукѣ математики совсѣмъ не можетъ быть рѣчи о такой эмпирической точности, и что математическое измѣреніе посредствомъ вычисленія или построеній и доказательства геометріи, совершенно различно отъ землемѣрія, измѣренія данныхъ на опытѣ линій, фигуръ и т. под. Сверхъ того, какъ уже было упомянуто, черезъ сравненіе результатовъ, получаемыхъ строго геометрическимъ путемъ и посредствомъ метода безконечно-малыхъ разностей, аналитики доказываютъ, что эти результаты тожественны, и что бо́льшая или меньшая степень точности не имѣетъ здѣсь мѣста. Съ другой стороны самый пріемъ — пренебрегать величинами вслѣдствіе ихъ незначительности — несмотря на оправданіе результатами, не можетъ не вызывать протеста. И въ этомъ заключается трудность, побуждающая аналитиковъ понять и удалить заключающуюся здѣсь нелѣпость.
По этому вопросу слѣдуетъ, главнымъ образомъ, привести мнѣніе Эйлера. Полагая въ основаніе общее опредѣленіе Ньютона, онъ .настаиваетъ на томъ, что дифференціальное исчисленіе разсматриваетъ отношенія приращеній нѣкоторой величины, при чемъ однако, безконечно-малая разность, какъ таковая, есть совершенный нуль (Instit. calc. different. Р. I. С. III). Какъ это слѣдуетъ понимать, видно изъ вышеизложеннаго; безконечно-малая разность есть нуль лишь по количеству, а не качественный нуль; но какъ нуль по количеству она есть лишь чистый моментъ отношенія. Она не есть различіе на нѣкоторую величину; но именно потому съ одной стороны вообще ошибочно называть эти моменты, именуемые безконечно-малыми величинами, также приращеніями и убываніями и разностями. Въ основѣ этого опредѣленія лежитъ то предположеніе, что нѣчто прибавляется къ предварительно данной конечной величинѣ или убавляется отъ нея, что происходитъ вычитаніе или сложеніе, нѣкоторое ариѳметическое, внѣшнее дѣйствіе. Переходъ отъ функціи перемѣнной величины къ ея дифференціалу должно, напротивъ, пони
конечно-малых величин, связанное с самыми приращением и убыванием. По этому представлению они таковы, что не только они относительно конечных величин, но и высшие их порядки относительно низших, а равно произведения многих их относительно одного, должны быть пренебрегаемы. У Лейбница особенно сильно выступает это требование пренебрежения, находимое также и у предыдущих изобретателей методов, касающихся сказанных величин. Именно это обстоятельство сообщает исчислению, при выигрыше в удобстве, видимость неточности и явной неправильности в ходе его действий. По своему способу популяризовать вещи, т. е. лишать чистоты их понятий и заменять их неправильными чувственными представлениями, Вольф пытался сделать этот прием понятным для рассудка. А именно, он сравнивает пренебрежение бесконечно-малыми разностями высших порядков относительно низших с образом действий геометра, измерение которым высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер снесет песчинку с её вершины, или с пренебрежением высотою домов и башен при вычислениях лунного затмения (Eiern, mathes. univ. Т. I. Gl. analys. math. p. II, С. I Schol.).
Если суд обычного человеческого рассудка и допускает такую неточность, то все геометры, напротив, отвергают ее. Само собою очевидно, что в науке математики совсем не может быть речи о такой эмпирической точности, и что математическое измерение посредством вычисления или построений и доказательства геометрии, совершенно различно от землемерия, измерения данных на опыте линий, фигур и т. под. Сверх того, как уже было упомянуто, через сравнение результатов, получаемых строго геометрическим путем и посредством метода бесконечно-малых разностей, аналитики доказывают, что эти результаты тожественны, и что бо́льшая или меньшая степень точности не имеет здесь места. С другой стороны самый прием — пренебрегать величинами вследствие их незначительности — несмотря на оправдание результатами, не может не вызывать протеста. И в этом заключается трудность, побуждающая аналитиков понять и удалить заключающуюся здесь нелепость.
По этому вопросу следует, главным образом, привести мнение Эйлера. Полагая в основание общее определение Ньютона, он .настаивает на том, что дифференциальное исчисление рассматривает отношения приращений некоторой величины, при чём однако, бесконечно-малая разность, как таковая, есть совершенный нуль (Instit. calc. different. Р. I. С. III). Как это следует понимать, видно из вышеизложенного; бесконечно-малая разность есть нуль лишь по количеству, а не качественный нуль; но как нуль по количеству она есть лишь чистый момент отношения. Она не есть различие на некоторую величину; но именно потому с одной стороны вообще ошибочно называть эти моменты, именуемые бесконечно-малыми величинами, также приращениями и убываниями и разностями. В основе этого определения лежит то предположение, что нечто прибавляется к предварительно данной конечной величине или убавляется от неё, что происходит вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Переход от функции переменной величины к её дифференциалу должно, напротив, пони
