§ 9. Связь между экспоненциальными, круговыми и гиперболическими функциями.
Мы видели, что e;8 = cosB-j-/sin6. Изменив знак у б на минус, получим e-;9 = cos 6 — /sin6. Из этих двух уравнений легко получить @.43) @.44) @.45) @.46) Соотношения @.45) и @.46) представляют собой тождества, позволяю- позволяющие выразить круговые функции через неперово число с мнимым показа- показателем. Полезно заметить» следующее графическое использование ур-ний @.45) и @.46). Выражение е-7'6 соответ- соответствует вектору А (фиг. 0.11), име- имеющему единичную длину и составля- составляющему угол 6 с осью абсцисс. Выра- Выражение е--7'9 соответствует такому же вектору В, составляющему угол—6 с осью абсцисс. Геометрическая сумма этих век- векторов даст вектор С, лежащий вдоль оси абсцисс и соответствующий дей- действительному числу 2cos 6. Этот результат и дает ур-ние @.46). Выполним геометрическое вы- вычитание векторов А и В, получим вектор D, который определяется чисто мнимым числом /2 sin 6. Ур-ния @.45) и @.46) остаются справедливыми, будет ли дуга б дей- действительным, мнимым или комплексным числом. Положим б=/ср, где <р—действительное число. Тогда ур-ния @.45) и @,46) перепишутся так: Фиг. 0.11. @.47) @.48) Ур-ния @.47) и @.48) показывают, что .круговые функции от мнимого аргумента представляют собой уже не периодические функции. Они назы- называются „гиперболическими" функциями и обозначаются так: (гиперболический синус), (гиперболический косинус). В графическом изображении гиперболический синус численно равен ординате СА (фиг. 0.12) точки А, взятой на равнобокой гиперболе с осями 18
