ЭЛЕКТРИЧЕСТВОУравнение (33), выражающее так называемую теорему Гаусса, в случае электростатического поля м. б. легко выведено из закона Кулона.
Действительно, пусть поверхность S представляет собою сферу радиуса R, в центре н-рой находится точечный заряд д. Поле Е этого заряда направлено радиально* так что на поверхности сферы Еп = ±Е = £- и следовательно к* EndS=~ — $ dS=-~ .
= что при любом раS S диусе сферы R совпадает с уравнением (3 3). Исходя из закона Кулона, можно далее показать, что это уравнение применимо не только к сфере, но и к любой замкнутой поверхности, охватывающей заряд q. Наконец при объемном распределении зарядов электрическое поле Е складывается из полей отдельных элементов заряда dq = odVt каждое из к-рых удовлетворяет последнему уравнению.
Основываясь на этом, можно доказать справедливость уравнения (33) для произвольного Кулонова поля.
То обстоятельство, что правая часть уравнения (32) в отличие от уравнения (33) равна нулю, выражает собою тот факт, что в отличие от зарядов электрических никаких магнитных зарядов не существует.
Пользуясь представлением об электрических и магни'гных силовых линиях, можно, как известно, выразить содержание уравнений (32) и (33) след, образом: электрические силовые линии начинаются на отрицательных и оканчиваются на положительных зарядах (направление силовых линий является конечно условным; при принятом выше условии о направлении вектора Е нужно считать, что силовые линии исходят из положительных зарядов и оканчиваются на отрицательных), тогда как магнитные линии всегда замкнуты либо во всяком случае не имеют ни начала ни конца.
Система уравнений электромагнитного поля. Система уравнений (23а) и (27), уравне ния непрерывности (11а) и закона Ома (21), а также непосредственно связанных с этими четырьмя уравнениями уравнений (32) и (33), охватывает собой всю совокупность (макроскопических) электромагнитных явлений в отсутствии диэлектриков и магнетиков (при условии неподвижности проводников). При указанных ограничениях макроскопическая теория Э. сводится в сущности к исследованию этих законов электромагнитизма и к нахождению следствий, вытекающих из них для различных частных областей электромагнитных явлений (электростатика, постоянные и переменные токи, электромагнитные волны и т. п.).
Все частные закономерности этих явлений, как напр. закон Кулона (4), закон Био-Савара (16) и т. д., являются простыми следствиями этих уравнений поля.
Мы приведем здесь еще раз систему уравнений (23а), (27), (32), (33) и (21), носящих название уравнений Максвелла: Etdl = - ^J HndS, L
(I)
S
f Htdl= + S
L
/ s
f indS, (П)
=
f HudS = 0, s
p edV,а также уравнение непрерывности
f S
Sdv.
(VI>
V
[В предыдущем мы, исходя из (I), (II) и (VI), путем нек-рых добавочных рассуждений получили (III) и (IV). Обратно — из уравнений (I) — (IV) непосредственно вытекает справедливость уравнения непрерывности (VI)].
В том случае, если в проводниках действуют помимо Е также и сторонние электродвижущие силы, которые можно охарактеризовать соответствующей напряженностью поля этих сил Естр^ уравнение (V) нужно дополнить следую•щим образом: i = a(E+Ecmp;).
[.(V') Заметим, что основные уравнения электронной теории в общем совпадают с приведенными уравнениями Максвелла. Отличие заключается лишь в трех пунктах. Во-первых, в электронной теории плотность тока выражается непосредственно через плотность и скорость зарядов (см. 12а) 1= (Va) во-вторых, зависимость плотности тока от поля выражается не феноменологическим уравнением (V) и (V'), а определяется из (Va) и из уравнений движения электронов и протонов, основывающегося на Лоренцевом выражении силы [см. (8)]: ^f(m>) = F=g
(Vb)
где m есть масса заряда q. Наконец в электронной теории система уравнений (I) — (IV), (Va), (Vb) и (VI) предполагается справедливой всегда при всех условиях, и особенности электромагнитных явлений в различных весомых телах (проводники, диэлектрики и т. д.) объясняются на основе рассмотрения сложной электронной структуры этих тел.
Дифференциальная форма
уравнений поля.
Уравнения поля (I) - — (VI) носят характер интегральных соотношений и связывают например значения вектора Н на произвольном контуре L со значениями вектора j во всех, вообще говоря, удаленных от этого контура точках поверхности S. Однако лишь форма этих уравнений может представляться соответствующей представлениям теории дальнодействия. Простые математические преобразования позволяют выразить уравнения поля в дифференциальной форме, в которой непосредственно обнаруживается соответствие этих уравнений законам близкодействия.
Для записи этих дифференциальных уравнений удобно воспользоваться обозначениями векторного исчисления (см.) и введенными там понятиями1 о дивергенции (см.) и вихре или роторе (см.) данного вектора.
Если А есть вектор, слагающие к-рого Ах, Ay, Az являются непрерывными функциями координат, то дивергенцией вектора А называется скаляр, обозначаемый через div А и равный
S
(III)
v
(IV)
(V)
Далее, рогоромили вихрем вектора Л. называется вектор, обозначаемый через rot Л. (или curl А), слагающие к-рого соответственно равны: rotH =
= ^-^, roW = ^-^.
dz дх дх ду
(35) f
