ЭЛЕКТРИЧЕСТВОлетающий к этой точке бесконечно-малый элемент сечения тока, на площадь этого сечения dS: (9а) Обычно плотность тока j считают вектором, направление к-рого в каждой точке совпадает с направлением тока. При этом направление тока совершенно условно считается совпадающим с тем направлением, в к-ром должны были бы двигаться положительные заряды. В силу меньшей своей массы электроны гораздо более подвижны, чем протоны, и поэтому в большинстве случаев электрический ток обусловлен движением именно электронов. В этих случаях приходится считать ток «текущим» в сторону, обратную действительному направлению движения отрицательных зарядов.
Итак, количество Э., протекающего в единицу времени через элемент сечения тока dS, равно dJ = jdS; при этом предполагается, что элемент сечения тока dS перпендикулярен направлению тока. Если же площадка dS не перпендикулярна току, то количество протекающего через нее электричества определится формулой dj = j cos (J, n) dS = jndfi, (10) где n есть направление нормали к площадке dS, a jn — нормальная слагающая плотности тока^.
При этом силу тока dJ нужно считать положительной или отрицательной в зависимости от знака cos (/, п), т. е. в зависимости от того, протекает ли ток через площадку dS в направлении нормали п или в обратном направлении.
Рассмотрим теперь произвольную поверхность 8. Общее количество протекающего через нее Э. определится очевидно суммой или, что в сущности то же, интегралом выражений ((10), взятым по всем ее элементам: ^indS=fjndS.
(10а) 8
Если эта поверхность $ замкнута (как напр. поверхность шара), то сумма эта будет очевидно равна общему количеству Э., выходящему за единицу времени из ограниченного поверхностью 8 объема V (если п есть внешняя нормаль к поверхности). С другой стороны, согласно одному из основных постулатов теории, Э. не может ни возникать ни исчезать.
Следовательно количество Э., вышедшего за 1 сек. за пределы объема V, должно равняться убыли — за тот же период времени заряда q, находящегося внутри объема V. Иными словами (И)
[Кружок у знака интеграла должен означать, что интеграл берется по замкнутой поверхности (или, в дальнейшем, по замкнутой линии)].
Это весьма важное уравнение называется уравнением непрерывности и является математическим выражением постулата сохранения количества Э. В случае постоянных токов распределение заря, дов не меняется со временем, т. е. ~ = 0, и стало быть и левая часть формулы (11) тоже равна йулю. Это значит, что положительные члены интеграла или суммы (10а) в этом случае компенсируются отрицательными, т. е., что есличерез одну часть поверхности 5 Э. вытекает из нее наружу, то через другую ее часть поступает внутрь равное количество Э.
Легко сообразить, что в случае постоянного тока, протекающего по неимеющему разветвления проводнику, через любое сечение проводника протекает ток одинаковой силы: в противном случае в нек-рых участках проводника должно было бы происходить постепенное накопление зарядов и ток не был бы постоянным. Именно поэтому можно говорить просто о силе постоянного тока, не указывая о каком именно сечении тока идет речь. По той же причине постоянные токи всегда замкнуты, ибо в противном случае у концов тока происходило бы накопление зарядов.
Заряд q, заключенный внутри произвольного объема V, может быть выражен через плотность Э. в этом объеме q (т. е. через величину заряда q, приходящегося на единицу объема) с помощью уравнения
e=fedv, V
ибо QdV по определению есть заряд элемента объема dV.
Внося это выражение в формулу (11), получаем несколько измененную форму уравнения непрерывности: finds- — ~ f edV.(На)
V
Легко наконец найти связь между плотностью тока j и числом и скоростью элементарных зарядов (электронов,' ионов и т. п.), образующих своим движением этот ток.
Пусть на единицу объема тока приходится п движущихся элементарных зарядов величины q0. Предположим сначала, что все эти заряды двигаются с одинаковой скоростью v. В этом случае за единицу времени все они перемещаются на расстояния v и стало быть через произвольную площадку dS, перпендикулярную к е, за единицу времени должны пройти все те и только те заряды, к-рые на-, ходились внутри цилиндра с основанием dS и высотой v.
Объем этого цилиндра равен v • dS, число находящихся в нем зарядов равно п • v • dS и стало быть сила проходящего через dS тока равна dj = qonvdS, откуда на основании равенства (9а) получаем . dj 3=dS = n(loV.
(12)
Очевидно, что эта формула остается справедливой и в том случае, если скорости различных зарядов неодинаковы, если только при этом под v понимать среднюю скорость зарядов.
Наконец если через q обозначить объемную плотность движущихся зарядов e = nqQ (13) и если учесть, что вектор J параллелен вектору v, то уравнение (12) примет вид: J — q*v.
(12а) В рамках макроскопической теории в этом уравнении под q и v нужно понимать среднюю плотность и среднюю скорость движущихся в проводнике зарядов. Однако это уравнение остается справедливым и при микроскопическом рассмотрении явлений; под q нужно понимать в этом случае истинную плотность зарядов, отличную от нуля лишь внутри электронов и протонов, а под с — истинную скорость данного элементарного заряда.
Силы, действующие на токи в магнитном поле. Всякий электрический ток, помещенный
в магнитное поле, испытывает действие механической силы, равной сумме Лоренцевых сил, действующих на каждый элементарный движущийся заряд. Рассмотрим некоторый элемент тока, т. е. элемент объема тока dV, столь малый, что значения величин > и Ы можно считать в нем постоянными, но все же еще' столь большой, что в нем имеется достаточно большое число элементарных движущихся зарядов д0. На каждый из этих зарядов qQ действует со стороны магнитного поля сила (7а).
Если бы скорость v всех движущихся в проводнике зарядов была одинакова, то общая сила, действующая на весь элемент dV, была бы
