ного образования; кульминационным пунктом геометрической части является изучение правильных многогранников. Тесно связано с геометрическими книгами учение о пропорциях (5 книга) и учение об иррациональных величинах (10 книга). Наконец несколько особняком стоят три книги арифметического или, точнее говоря, теоретико-числового содержания (7, 8 и 9 книги), представляющие также составную часть единого целого как в отношении результатов, там получаемых и частично используемых в дальнейшем, так в особенности по методу изложения. Более подробное изложение содержания «Начал» Э. см. в ст. Геометрия.
Хотя Э. нигде не останавливается на принципиальных вопросах философского характера, но все его произведение насквозь проникнуто отчетливо осознанными взглядами на предмет и метод математики. Эти взгляды с удивительной последовательностью отразились на построении «Начал». Уже при беглом ознакомлении с текстом «Начал» создается впечатление чрезвычайной сухости и формальности изложения. Э. стремится к неопровержимой формальной строгости, не боясь утомительных повторений, и, как правило, полностью воспроизводит в системе умозаключений каждый шаг, вплоть до само собой разумеющихся.
Степень формальной строгости Э. поистине изумительна. Она оставалась непревзойденной до 19 в. Тонкость и логическая завершенность его доказательств особенно сказываются в его учении о пропорциях и об иррациональных величинах (см. Геометрия). Но, с другой стороны, у Э. отсутствуют какие бы то ни было вводящие или резюмирующие пояснения, отсутствуют какие бы то ни было указания о месте предмета или его отдела в общей системе знаний и практики. Практика игнорируется не только формально. Через весь труд Э. проходит неявно выражаемое игнорирование ее потребностей. Во главу угла ставится логическая форма и в жертву ей приносится содержание в тех случаях, когда последнее не может быть уложено в рамки формы, удовлетворяющей требованиям строгости. Так, из геометрии фактически изгнана измерительная часть ее; причину этого нетрудно прочитать между строк: понятие иррационального числа (см.) является чуждым Э., так как он не может уложить его в рамки формальной системы.
Греческая геометрия ко времени Э. представляла собой теоретическую науку, достигшую высокого уровня развития и имевшую многочисленные практические приложения, из потребностей к-рых она выросла (механика, архитектура, землемерие, астрономия, учение о перспективе); математики этой эпохи были одновременно и практическими работниками в ряде прикладных областей. Идеалы «чистой» науки проповедывались идеалистическими течениями (пифагорейцы, Платон), отражавшими взгляды реакционных группировок античного общества.
С падением демократии в большинстве греческих городов идеалы «чистой» науки должны были получить преобладание. Во всяком случае в александрийской школе они господствовали, и Э. последовательно стремится к этому идеалу. Не случайным является то особое внимание, к-рое он уделяет излюбленным проблемам пифагорейцев: изучению правильных тел и фигур, «совершенным числам». Те и другие служили объектом мистических спекуляций пифагорейцев.С началом нового времени подымается интерес к Э., и вокруг него разгорается борьба со стороны передовых мыслителей. С одной стороны, ряд мыслителей стремится достигнуть строгости доказательств Э. «Геометрический метод» играет большую роль у Спинозы, Гоббса и др. С другой стороны, учение Э. подвергается критике. Эта критика консолидируется уже в 16 в. (Рамус) и находит своих представителей в лице крупнейших математиков вплоть до второй половины 18 в. (Клеро). В частности эвклидова теория пропорций и учение о несоизмеримых величинах служат предметом особо резких и далеко не всегда правильных нападок.
Кроме «Начал» Э. принадлежит ряд других сочинений, важнейшие из к-рых («Конические сечения» и «Поризмы») утеряны и о содержании к-рых можно строить лишь догадки. Дошедшие до нас произведения Э. собраны в критич. издании Гейберга и Менге, дающем их греческие подлинники, латинские переводы и богатое собрание комментариев позднейших авторов [Euclidi opera omnia, ediderunt J. L. Heiberg et A. H. Menge, Lipsiae (Лейпциг), 1883—88].
Лит. об Э. огромна. Подробные литературные указа ния в книге: The thirteen Books of Euclid’s Elements, translated by T. L. Heath, v. I — III, 2 ed., Cambridge, 1926. Это лучший из переводов Э. на новые яз., снабженный исчерпывающими комментариями фактического характера. Большинство переводов Э. неполно (особенно часто опускаются арифметические книги, а также учение об иррациональных величинах) и преследует учебные цели. Последний по времени полный немецкий (J. F. Lorenz) перевод вышел в 1839. На рус. яз. имеется последний по времени неполный (нет арифметических книг) перевод М. Е. Ващенко-Захарченко, Киев, 1880. Язык перевода очень тяжелый. Примечания и вступительная статья переводчика слабы и содержат много ошибок. Познакомиться с методом Э. можно по кн. С. А. Богомолова, Основания геометрии, М. — П., 1923. Автор ставит своей задачей охарактеризовать метод Э. в целом и имеет в виду преимущественно теорию параллельных. С той же стороны к Э. подходит иВ. Ф. Каган (Основания геометрии, т. II, Одесса, 1907). Лучшим историческим комментарием к «Началам» Э. служит кд.: ZeuthenH. G„ Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter, Kopenhagen, 1899 (франц. перевод: Histoire des mathSmatiqueS' dans l’antiquit6 et le Moyen 4ge, Paris, 1902; имеется рус. перевод, Москва, 1932). См. также: Cantor М., Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, Band I,.
4 Auflage, Leipzig — Berlin, 1922, S. 258—94; Loria G.,.
Lescienze esatte nell’antica Grecia, 2 edition, Milano, 1914,.
pages 188—278.
• M. Выгодский.
Э. известен также как акустик-теоретик музыки, автор сочинения «Деление канона» (Sectio canonis), в к-ром производится деление струн канона (монохорда, см.) на строгих математич. принципах и доказываются музыкально-акустические теоремы, подобные геометрическим,, напр. о совершенных консонансах кварты и квинты, делящих (по тогдашним представлениям) октаву. Автором приписывавшегося раньше Э. «Введения в гармонию» (Introductio harmonica) в наст, время признан Клеонид (2 в. хр. эры)..
ЭВКЛИД из Мегары, греч. философ 4 в. до хр. э., ученик Сократа, основатель одной изтак называемых малых сократических школ — мегарской. По Э., истина познается из понятий: истинно существующими надо признать формулированные в понятиях «бестелесные виды»; телесный мир, напротив, не обладает истинным существованием. Истинно сущее, «единое» элеатов, Э. отождествил с высшим понятием сократовской этики — благом. В соответствии с этим есть лишь одна добродетель — познание этого блага. Для обоснования своих воззрений Э. часто пользовался косвенными доказательствами, оспариванием противников и т. д.„ отсюда и вся мегарская школа называлась иногда «эристической» (т. е. «спорщической»). Вт. н.
«софизмах» мегарцев («Куча», «Крокодилов сил-
