ЭЛЕКТРИЧЕСТВОмагнитного поля. В этом случае как q и J, так и <р и А от времени не зависят, и вычисление интегралов (37) значительно упрощается. Далее, в виду независимости А от времени, электрическое поле согласно (36) однозначно определяется одним только скалярным потенциалом 9?, а магйитное — только векторным потенциалом А. Т. о. электрическое и магнитное поле в этом случае оказываются независимыми друг от друга. Заметим, что в случае постоянного электрического поля потенциал <р, определяемый уравнением (37), совпадает с потенциалом (р, определяемым из работы сил электрического поля [уравнение (19)].
Энергия электромагнитного поля. Поток энергии. Как уже указывалось выше, электро магнитные явления нами, вообще говоря, непосредственно не воспринимаются, так что судить о них мы можем только по сопровождающим их переходам энергии электромагнитной в другие формы энергии (механическую, тепловую, химическую и т. д.). Поэтому система уравнений поля приобретает физический смысл лишь в том случае, если к ней присоединить выражение энергии электромагнитного поля.
В теории Максвелла, базирующейся на уравнениях (!') — (V'), выражение энергии поля не может быть выведено из этих уравнений и должно быть постулировано независимо от этих уравнений на основе обобщения данных опыта. Напротив, исходя из уравнений электронной теории, отличающихся (в рамках рассматриваемой в этой главе области явлений) от уравнений Максвелла лишь заменой уравнения (I) или (!') на уравнения (Va) и (Vb), можно однозначно вывести выражение электромагнитной энергии без каких-либо добавочных допущений. Ибо, с одной стороны, уравнение (Vb) определяет силы, действующие на электрические заряды, с другой стороны, с точки зрения электронной теории первым этапом перехода энергии поля. в другие формы всегда является переход ее в механическую (кинетическую) энергию движения элементарных электрических зарядов, к-рая затем может уже в свою очередь переходить в энергию тепловую, химическую и т. д. Существенно,, что . энергия электромагнитного поля выражается одинаковым образом и в теории Максвелла и в электронной теории (в случае отсутствия диэлектриков и магнетиков). Вывод этого выражения из уравнений электронной теории таков.
Сила, действующая на точечный заряд Q, выражается формулой Лоренца (8). Если . же исходить из объемного распределения зарядов с плотностью с, то сила, действующая на находящийся в. элементе объема dV элемент заряда dq=QdV, выразится очевидно аналогичной фор} dV. Работа, совершаемая мулой fdV = Q | этой силой за единицу времени, будет равна произведению ее на путь, проходимый зарядом в 1 сек., т. е. на v:
vfdV = gvEdV.
В выражение работы входит только Е, ибо силы магнитного поля перпендикулярны перемещению заряда v и поэтому никакой работы не совершают. Наконец полная работа А, совершаемая силами электромагнитного поля в нек-ром объеме dV за единицу времени, ч равна сумме (или интегралу) работ, совершаемых в каждом его элег менте dV: V
(см. уравнение Va). Пользуясь уравнениями поля (Г) — (1Г), можно выразить плотность тока > через напряженности поля — и затем привести (38) к следующему виду:А=- £
f [£H]«ds’
v
s
. где S есть замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.
Из (II') следует: . с . жг 1 дЕ В векторном анализе доказывается, что для любых двух векторов Е и И справедливо равенство Е • rot Н « И. rot Е — div [КЛ].
Стало быть rot Е~ div [ВЯ]-АЕ^-4л 4л dt Внося сюда значение rot J& из (Г), получаем — Л 4- (Е»+Я»>div [ЕН]. о 7Z О С 4
Внося это в (38) и приняв наконец во внимание, что согласно теореме Гаусса Г div [ЕЕ] dV = $ [EE]ndS, V
S получаем (39). Если. ввести обозначения f[E2 + H2]dV 8л J V и
Р = ^-[ЕЛ], 4Я
то уравнение (39) примет вид: A=-^-^, p„dS.
(4f>
(42)
(4 0)
Я Предположим сначала, что объем интегрирования V обнимает собою все электромагнитное поле (т. е., вообще говоря, все бесконечное пространство) и что последний член уравнения (40), Представляющий собою интеграл по (вообще говоря, бесконечно удаленной) поверхности 8, охватывающей это поле, равен нулю. Тогда уравнение это примет вид: А = — Стало быть работа сил электромагнитного поля за единицу времени равна убыли функции W за то же время. А это и значит, что эта функция W выражает собой энергию электромагнитного поля, за счет к-рой производится работа сил этого поля.
В том случае, когда мы рассматриваем нек-рый конечный объем V, не охватывающий собою всего поля, убыль находящейся в этом объеме энергииW « ~ Г (Е2 + H*) dV 8л j V „может обусловливаться ле только затратой части этой энергии на работу А, но и выходом другой ее части, сохраняющей форму энергии электромагнитной, за пределы объема V. Иными словами, энергия поля может вытекать через граничную поверхность S за пределы объема V. Так напр., электромагнитная волна, излучаемая каким-либо находящимся внутри V источником и распространяющаяся за пределы поверхности S, уносит с собою соответствующее количество электромагнитной энергии. Переписав уравнение (40) в форме
S 9W мы . убеждаемся, что убыль энергии действительно О1 складывается из работы А, совершаемой внутри объема V, и из утечки энергии PndS через границу этого объема S V. (Конечно величина этой утечки может быть и отрицательной, если вектор Р направлен внутрь поверхности S, т. е. проекция его Рп на внешнюю нормаль к поверхности отрицательна, в этом случае энергия втекает извне внутрь объема V). По существу же величина этой утечки зависит только от напряженностей поля ЕиЯн а границе объема V [ибо только ими согласно (42) и определяется значение Р на этой границе]
Т. о. поток электромагнитной энергии, протекающий за единицу времени через замкнутую поверхность S9 равен PndS, причем s
