разностей исходных «порядковых» чисел и имеют инвариантный количественный смысл, не зависящий ни от начала координат исходной плоскости ни от выбора единицы меры и направления осей (при сохранении ориентировки плоскости). Действие возвышения в степень, рассматриваемое как последовательное применение одного и того же оператора умножения, так же как и соответствующая обратная операция извлечения корня получают совершенно прозрачный смысл. В частности числу <=У — 1 соответствует операция поворота на прямой угол без изменения длины, а формула {2 == -1 или i* = (V — I) 2 выражает равносильность двух последовательных поворотов на прямой угол перемене направления вектора на противо« / положное.
Развивая те же идеи, /Д Гамильтон построил теоX \ рию кватернионов (см.), л ' < __________ относящуюся уже к пространственным образам, положив этим начало _____ современной теории векторов (см.). Дальнейшие Рис. 5. обобщения приводят к общей теории гиперкомплексных чисел (см.) ctiei 4—0262+ ....+awew, образованных с помощью нескольких независимых единиц е1} е2,..., еп, действия над которыми определяют алгебру соответствующей числовой области так же, как соотношение $2=1 определяет формальные операции над обыкновенными комплексными Ч. а 4 — bi с двумя независимыми единицами 1 и i. Эта область математики, тесно связанная с теорией матриц и теорией групп, получая все более и более широкие приложения, и сейчас еще является предметом многочисленных изысканий.
С характерной для буржуазной науки узко конвенционалистской точки зрения Ч. суть свободные творения человеческого разума, «произвольно созданные знаки, могущие служить средством для достижения весьма многообразных целей» (Шредер). Определения основных действий, согласно принципу перманентности Ганкеля, должны лишь удовлетворять требованию, чтобы основные свойства операций (свойства числового тела) сохранялись при каждом новом расширении понятия о Ч., в остальном преследующем чисто формальную цель — сделать выполнимой в новой числовой области одну из обратных операций, невыполнимую в первоначальной области.
С диалектической точки зрения содержание процесса развития понятия о Ч. представляется в противоположность этому исторически необходимым раскрытием в числовой области свойств непрерывной направленной величины, заложенных в зародыше уже в основных действиях над целыми положительными числами, осуществляющимся путем последовательного преодоления противоречия между неизбежно вплетавшимися в алгебраические выкладки формальными операциями над «невозможными», «воображаемыми» Ч. и имевшимся на каждой стадии понятием о величине, соответствовавшим конкретному пониманию Ч. Каждый новый синтез приводит при этом к плодотворному расширению числовой области, дающему возможность отражать с помощью Ч. все более и более широкий класс количественных отношений действительности. Процесс этот характеризуется взаимопроникновением двух противоположных тенденций — установления общих формальных законов числового тела, не зависящих от содержательного истолкования чисел и операций над. ними (отвлечение от рассмотрения размерности именованных Ч., двоякого смысла обратных действий вычитанияи деления и т. п.), и, с другой стороны, стремления разыскать ту конкретную величину, в действиях над к-рой формальные операции над отвлеченными Ч. получали бы совершенно отчетливую интерпретацию. Это единство абстрактного и конкретного, на почве которого создавалось современное учение о Ч., проходит красной нитью* через всю историю развития математики, с особенной яркостью проявляясь в тех решающих поворотных пунктах, к-рые отмечены работами Декарта, Гамильтона и Кантора. Более глубокий анализ этого процесса на основе материалистической диалектики является одной из важнейших задач марксистской методологии математики.
Лит.: Grassmann Н., Lehrbuch der Mathematik..., Т. 1 — Arithmetik, Berlin, 1861; Dedekind R., Was sind und was sollen die Zahlen?, Braunschweig, 1888; его же, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig, 1872 (рус. пер.: Дедекинд P., Непрерывность и иррациональные числа, пер. С. О. Шатуновского, 4 изд., Одесса, 1923); Stolz О., Vorlesungen uber allgemeine Arithmetik, T. 1, Leipzig, 1885; H б 1 deгО., Die Arithmetik in Strenger Begriindung, Leipzig, 1914; H am i 11 о n W. B., Lectures on Quaternions, Dublin, 1853; Клиффорд В., Здравый смысл точных наук, 2 изд., Петроград, 1922; Г ельмгольц Г., Счет и измерение, Казань, 1893 (здесь же: Кр онекер Л.. Понятие о числе); Васильев А. В., Введение в анализ, вып.
1, 4 изд., Казань, 1913, и вып. 2, 2 издание, Казань, 1910; Вебер Г. и . В елыптейн И., Энциклопедия элементарной математики, т. I — Элементарная алгебра и анализ, 3 изд., М. — Л., 1927; Тимченко И., Основания теории аналитических функций, «Записки Математич. отделения Новоросс. общества естествоиспытателей», тт.’ХП, XVI, XIX, Одесса, 1892—99 [ценный исторический обзор]; Fгеgе G., Grundlagen der Arithmetik, Breslau, 1884; Whitehead A. N. and Russell B., Principia mathematica, vis I — III, Cambridge, 1910—13; Peano G., Formulalre des math6matiques, t. I — IV, Torino, 1895—1902; Couturat L., Les principes des mathGmatiques, Paris, 1905 (рус. пер.: Кутюра Л., Философские принципы математики, СПБ, 1912); Р о incar ё Н., La science et I’hypothGse, Paris, 1902 (рус. пер.: Пуанкаре А., Наука и гипотеза, М., 1904); его же, Science et m6thode, Р., 1909 (рус. пер.: Пуанкаре А., Наука и метод, СПБ, 1910); Husserl Е. G., Philosophic der Arithmetik, В. I, Lpz., 1891; Russell В., Introduction to mathematical phylosophy, L. — N. Y., 1924; N at о r p P., Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaften, Lpz., 1910; Бэр P., Теория разрывных функций (пер. с франц. и ред. А. Я. Хинчина), М, — Л., 1932; Hilbert D., Neubegriindung der Mathematik, «Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universitat», Hamburg, 1922, Band I, Heft 2: Wey 1 H., Neue Grundlagenkrise der Mathematik, «Mathematische Zeitschrift», Berlin, 1921, X; Хинчин A., Идеи интуиционизма и борьба за предмет в современной математике, «Вестник Ком. академии», [М.], 1926, книга 16; ВыгодскийМ. Я., Понятие числа в его развитии, «Естествознание и марксизм», [М.], 1929, №2; его же, Теоретические основы арифметики и алгебры Комарова (рец.), в кн. На борьбу за материалистическую диалектику в математике (сб. ст.), Гос. научно-техн. изд-во, м. — л., 1931. и. Арнолъд.
ЧИСЛО АВОГАДРО, число молекул в грамммолекуле (см.) вещества (напр. в 32 г кислорода); оно равно 6, 061 • 1023 и обычно обозначается буквой N.
ЧИСЛО ЗОЛОТОЕ, см. Золотое число.
ЧИСЛО ИОДНОЕ, одна из важнейших констант в анализе жиров, масел и вообще неопределенных соединений; Ч. и. показывает в процентах пересчитанное на иод количество галоида, к-рое способно присоединять данное вещество при определенных условиях. Теоретическое Ч; и. какого-нибудь соединения вычисляют, умножая молекулярный вес иода на 100 и на количество двойных связей и деля полученное произведение на молекулярный вес вещества. Напр. для олеиновой кислоты оно равно 253, 84x100x1 пл лп — о<404, 4/ ^ -----= 89, 93. Растительные высыхающие масла (льняное, конопляное) имеют Ч. и. 130—200; полувысыхающие масла (например хлопковое) — 95—130, невысыхающие (оливковое, касторовое и др.) — ниже 95. Жиры сухопут21*
