ЧИСЛОведено к виду а + Ъ\/ — 1 (в силу чего всякое уравнение между мнимыми величинами распадается на два уравнения между действительными количествами).
Неясности в самой постановке вопроса (характеризующие и работы Даламбера 1746) были устранены лишь на рубеже 19 в. Гауссом, которому принадлежит строгое доказательство основной теоремы алгебры, заключающейся в утверждении, что всякое алгебраическое уравнение n-ой степени с действительными коэффициентами имеет п (действительных или мнимых) корней. Одновременно было дано и приближающееся к современному определение комплексных чисел наравне с их геометрической интерпретацией (Бессель, Арган). Отчетливая постановка вопроса о роли комплексных чисел в алгебре оказалась т. о. и на этом этапе расширения понятия о Ч. связанной с обнаружением величины, свойства которой находят свое отражение в расширенной числовой области, и с глубоким анализом смысла утверждений, связанных с появлением комплексных Ч. в алгебраических преобразованиях.
К этому времени комплексные Ч. занимают уже выдающееся место не только в алгебре, но и в анализе. Геометрическая аналогия между гиперболой и кругом привела Моавра в начале 17 в. к известной формуле возвышения в степень и извлечения корня из мнимых Ч. (cos ф + + i sin <р) п = cos пу+г sin yC ф, на основе к-рой Эйлер установил носящие его имя соотношения eitp-L. e 49’
•
cos9> = e — 4 — ; sm^= — связывающие в комплексной области показательные функции с тригонометрическими, обнаружив этим впервые глубокую и — в свете современной теории аналитических функций — лежащую в существе дела необходимую связь между основными операциями анализа и комплексными Ч.
Характерное для 17—18 вв. рассмотрение вопроса во всей широте с привлечением аргументов самого разнообразного философского, геометрического и аналитического содержания свидетельствует о синтетичности мировоззрения творческой эпохи математического анализа, искавшего открытия неизвестных, но существующих взаимоотношений; в то же время оно обнаруживает всю трудность решения математических вопросов вне реальной интерпретации соответствующих формальных выкладок и без установления логической структуры рассуждения на основе отчетливого определения математических понятий.
С начала 19 в. комплексные Ч. и теория функций в комплексной области играют уже определяющую роль в математических исследованиях, и в настоящее время не будет преувеличением утверждение, что теория основных операций классического анализа по существу своему есть теория функций комплексного переменного. Теперь комплексные Ч. и. операции над ними входят уже в обиходный теоретический аппарат инженера-практика и играют в особенности значительную роль в — вопросах теоретической и прикладной гидромеханики и электротехники.
Выделение формального элемента в построениях Гамильтона (ок. 1850) приводит к не опирающемуся на геометрические соображения аксиоматическому изложению теории комплексных Ч., при к-ром эти последние рассматриваются как «пары» действительных чисел (а, Ь), причем законы основных операций вытекают из следующих определенийравенств, суммы и произведения двух таких пар: (а, Ь) = = (с, d), если а = с и b=d; (а, b)+(c, d)=(a+c, b+d); (а, b). (с, d)=[ac-bd, bc+ad]. Сохраняя определения остальных операций и отождествляя пару (а, 0) с действительным Ч. а, мы получаем числовое тело, в к-ром — в отличие от области действительных чисел — отсутствует скалярное(линейное) расположение элементов, а обратные операции третьей ступени оказываются всегда выполнимыми, в частности уравнение типа хп = а всегда разрешимым.
Связь с обычным алгебраическим знакоположением нетрудно установить, показав, что пара г = (0, 1) удовлетворяет соотношению $2 =-1 и что (a, b) =a + bi=a + bV^i.
Гамильтон не ограничивается однако выяснением формальных вопросов, но ставит своей задачей рассмотрение отвечающей области Ч. величины, интерпретируемой точками и направленными отрезками плоскости.
Каждой точке плоскости с координатами (a, b) в некоторой декартовой прямоугольной системе координат взаимнооднозначно соответствует комплексное число а + bi, являющееся здесь в роли обобщенной порядковой характеристики двумерно направленной величины . Сложению «точек» здесь еще нельзя придать никакого содержательного смысла. К о л ичествепное значение комплексного числа, как оператора первой ступени, обнаруживается при рассмотрении «переходов» от одной точки А к другой В, характеризующихся направленными отрезками (векторами) АВ и считающихся равными, если они параллельны между собою, одинаково направлены и равны по длине. Каждому такому вектору с началом в точке A (ах, Ьх) и концом в точке В (а2, Ь2) соответствует комплексное 4. a=a + bi, где a=a2 — ax и b = b2 — bx в формуле аг + bxi-j-(a + bi) = =a2+b2i, играющее роль «аддитивного оператора», соответствующего переходу от А к В. При этом равным векторам отвечает одно и то же число (инвариантное относительно параллельного переноса осей координат), а последовательному производству переходов АВ и затем В С, интерпретируемому сложением векторов по обычному правилу построения замыкающей (или диагонали паряллплограмма ABB^-Cf в к-ром АВХ=ВС), отвечает сложение комплексных Ч. a=a+bi и b=c-|- di, соответствующих век торам АВ и ВС (рис. 4).
Замечая, что переход от одного вектора к другому может быть осуществлен с помощью операции, объединяющей изменение длины одного вектора в некотором отношении г с изменением его направления путем поворотана некоторый угол ф, и характеризуя, с другой стороны каждое комплексное Ч.» соответствующее вектору АВ, его модулем г — длиной отрезка АВ и аргументом <р — углом, образованным вектором
АВ с положительным направлением действительной оси (рис. 5), мы приходим к естественному обобщению, оперативного определения умножения относительныхЧ.(см. выше). Комплексное число a =a + bi =r (cosp4 — i sin?) рассматривается при этом как оператор второй ступени, применение которого к Ри, вектору а осуществляет преобразование его в другой вектор . аа, путем изменения длины вектора а в отношении г : 1 и поворота его на угол ф в положительном направлении. В соответствии с общим смыслом произведения двух операторов, выражаемого формулой (0a) a = 0(aa), последовательное производство операций а = r(cos <р + i sin <р) и р = rx (cos ?>х 4 — i sin фх) приводит к комплексному числу аД как к оператору, осуществляющему умножение длины исходного вектора на тту и его поворот на угол (ф 4 — фх), откуда и вытекает совершенно отчетливая смысловая интерпретация формулы умножения комплексных чисел, заданных в тригонометрическом виде ri(cos ?? х+г sin рх), r(cos H-i sin <р)=rrx[cos (ф+фх) — г 4 — i sin(g>4—9>x)], эквивалентность к-рой аксиоматическому определению умножения пар вытекает из простейших тригонометрических тождеств. Исходный вектор а отвечает действительному числу+ 1. Комплексные числа в качестве операторов второй ступени соответствуют отношениям
