рациональных Ч., отличающий их от последовательностей, отвечающих таким рядам точек числовой прямой, к-рые вообще ни к какому предельному положению не стремятся, дан еще в начале 19 в. Коши и заключается в требовании, чтобы члены последовательности с возрастанием их номера неограниченно сближались между собой, и принимается Кантором за арифметическое определение сходящейся последовательности.
Каждая последовательность ах, а2, а3,... рациональных Ч., обладающая тем свойством, что всякому наперед заданному положительному Ч. е соответствует такой помер N, начиная с которого абсолютные величины разностей ап — атмежду двумя любыми членами последовательности с номерами, большими N, остаются меньше в, определяет т. о. в теории Кантора н е к-p ое иррациональное Ч.
Равенство и неравенство иррациональныхЧ. и операции над ними устанавливаются на основе предельных соотношений между элементами соответствующих сходящихся последовательное гей и — при нек-рой громоздкости формы — отражают общие приемы исследования величины с помощью их приближений с данной точностью (возможность такого исследования обусловлена равномерной непрерывностью основных операций).
Отвлекаясь от идеи последовательности, носящей все же несколько частный характер, можно сказать, что суть дела заключается в использовании неравенств .
I Ф («) — <р («1) | < е при О < «! или в симметрической форме | Ф (в) — Ф (ej I < в + в! в качестве критериев того, что совокупности рациональных Ч., обозначаемые знаком ф(с), соответствуют приближениям с точностью до е к нек-рому значению непрерывной величины. В этой форме определение иррационального Ч. <р(о) с помощью многозначной функции ?(е) положительной переменной в обнимает и ряд предельных переходов в анализе, не укладывающихся в простейшую схему последовательности.
Свойства непрерывности системы действительных Ч., образующей помимо того скаля рное числовое тело, обусловливают ее основную роль в изучении непрерывных величин. Дальнейшее расширение числовой области с сохранением всех этих свойств невозможно.
Мощность множества действительных Ч., носящая название мощности континуума, выше мощности всех рациональных Ч.
В самом деле, пусть все бесконечные десятичные дроби, выражающие Ч. между нулем и единицей, как-либо перенумерованы: Ч., первая цифра которого после запятой отлична от первой цифры первого, вторая — от второй цифры второго в данной нумерации Ч. и т. д., по построению не будет совпадать ни с одной из занумерованных дробей («диагональный процесс» Кантора).
Трансфинитные Ч. Построение числовой характеристики мощности бесконечных . со вокупно’стей в соответствии с общей идеей количественного Ч. привело Кантора к количественным трансфинитным Ч., своеобразие действий над к-рыми вытекает из возможности взаимнооднозначного соответствия между бесконечным множеством и его частью. Операции над множествами порождают возрастающий ряд количественных трансфинитных Ч., первым из которых является Ч. характеризующее класс счетных множеств, имеющих мощность натурального ряда. Аналогичное распространение на бесконечные множества идеи порядкового Ч., как характеристики расположенных совокупностей, приводит к ряду порядковых трансфинитных Ч. Первое такое Ч.« отвечает расположенным множествам типа натурального ряда а15 а2, а3,... (последовательностям). Присоединение к такому множеству одного элемента Ь1 в качестве последнего, следующего за каждым элементом последовательности а2, а3,... приводит к расположенному множеству типа ati а2, а3, ...,&х, характеризуемому порядковым числом w + 1; продолжая процесс далее, придем к расположению а19 а2...\ &2... (порядковое число 2w) и т. д. Это естественное обобщение процесса обьшной нумерации отличается от последней в. с. э. т. LXI.присоединением к принципу построения непосредственно следующего за данным Ч. принципа замыкания всякой последовательности порядковых трансфинитных Ч. непосредственно* следующим за этой последовательностью транс' финитным числом. Этому принципу соответствует трансфинитная индукция, вместе с обычной полной индукцией являющаяся источником общих предложений о трансфинитных Ч.
Отражая свойства т. н. вполне упорядоченных множеств, трансфинитные Ч. получают применение в анализе при рассмотрении предельных процессов, протекающих по . типу указанного выше трансфинитного замыкания. Вопрос о том, возможно ли упорядочение континуума и нумерация его элементов с помощью системы трансфинитных порядковых Ч., отвечающих указанным двум принципам порождения, принадлежит к числу труднейших нерешенных задач теории множеств.
Вопросы исследования континуума (см.) упираются в общие методологические проблемы логического и философского анализа бесконечного в математике, к-рые здесь приобретают еще бблыпую остроту, чем в теории натурального ряда целых Ч.
Комплексные числа. Решение квадратных уравнений уже на самой ранней ступени развития алгебры приводит к невозможной в области действительных Ч. операции извлечения корня из отрицательного Ч. Это обстоятельство рассматривалось как признак невозможности решения поставленной задачи до тех пор, пока в середине 16 в. не обнаружилось, что общая формула решения кубического уравнения, известная под именем формулы Кардана, содержит корни квадратные из отрицательных Ч. как-раз в том случае, когда соответствующее уравнение заведомо имеет три действительных корня (casus irreducibilis — неприводимый случай). Попытки устранить это противоречие привели Кардана и Бомбелли к распространению формальных правил операций над, действительными Ч. и на символы типа /-ц, где а — положительное Ч., в результате чего Бомбелли удалось получить из формулы Кардана значение действительных корней кубического уравнения в неприводимом случае. Несмотря на то, что этим было поло кено начало введению в алгебру т. н. комплексных выражений и действий над ними, смысл этих преобразований оставался темным для математиков в течение нескольких последующих столетий; соответствующая терминология «воображаемое», «невозможное», «мнимое» число, неизменно сопровождающая всякое расширение понятия о числе, частично сохранилась и до настоящего времени. Со времени Декарта мнимые корни алгебраических уравнений n-ой степени стали рассматриваться как символы, замещающие чисто формально действительные корни многочлена n-ой степени в разложении его на линейные множители в том случае/когда такое разложение на п действительных множителей невозможно. Оперирование с такого рода лишь отрицательно определенными символами по обычным: правилам алгебры являлось по существу чрезвычайно плодотворным, но необоснованным синтезом двух различных точек зрения; лишь как результат обобщения накопленного конкретного материала в дальнейшем утверждается убеждение в том. что всякое мнимое количество алгебраического происхождения может быть при21
