ййой трактовки, и об иррациональных Ч., как ^гайовых, здесь говорить не приходится. В средние Века, параллельно развитию алгебры и в связи с решением квадратных уравнений и задач геометрического происхождения, дейст вйя с выражениями, содержащими радикалы и методы приближенного извлечения корней из Ч., все более и более входят в обиход арабских и затем европейских математиков, к-рые однако, оперируя соответствующими символами, продолжают противополагать их Ч., что отражается и в терминологии («глухие» — surdi, «потенциальные» — in potentia, числа).
Это алгебраическое направление в математике в конце-концов завершается преодолением противоречия между геометрией, как наукой о непрерывных величинах, и алгеброй (в своих буквенных и числовых выкладках отражавшей общие формальные свойства величины) в аналитической геометрии (см.) Декарта, являющейся одной из предпосылок синтеза иррациональных и рациональных чисел в общем понятии о чцсле. 17 век, эпоха зарождающейся новой техники и начала современного естествознания, характеризуется в математике разработкой ряда методов изучения непрерывных величин с помощью бесконечных предельных процессов (в частности разложений в ряды, непрерывных дробей и бесконечных произведений), впоследствии вошедших в общую систему анализа бесконечных малых/Эти методы, основанные на уже довольно развитой технике алгебраических и численных выкладок и в частности приближенных вычислений при помощи десятичных дробей и логарифмов, уже в середине 17 века привели к отчетливой формулировке в работах английских математиков общих идей, на к-рые опирается производство аналитических операций над иррациональными Ч., и включению их в общую систему алгебры Декарта.
Грегори (1668) наравне с элементарными алгебраическими операциями рассматривает общую трансцендентную операцию образования величин с помощью двух рядов возрастающих и убывающих Ч., неограниченно сближающихся между собою. Непер формулирует правила действий над несоизмеримыми количествами, рассматривая соответствующие операции надих приближениями; в этих двух положениях в зародыше заключена и современная теория иррациональных Ч.
Расширенное понятие о вещественном (действительном) Ч., включающее уже иррациональные, рациональные и целые Ч., окончательно закрепляется в математике на рубеже 18 века определением, данным Ньютоном в его «Arithmetica Universalis»: «число есть не столько собрание нескольких единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой, однородной с ней, принятой за единицу». Установившееся т. о. синтетическое понятие о действительном числе, отражающее, с одной стороны, основные черты процесса измерения (на практике дающего лишь приближенные значения измеряемой величины, а в математической идеализированной абстракции порождающего характерные аналитические процессы неограниченного приближения к искомому решению) и входящее, с другой стороны, в общее учение о величинах, законы которого составляют содержание формального аппарата алгебры, оказалось достаточной основой для последующей, исключительной по своим темпам разработ 640
ки анализа непрерывных величин в 18 в., вплоть до середины 19 в., когда дальнейшее развитие чрезвычайно усложнившегося математического аппарата потребовало более глубокого рассмотрения лежащих в его основе предельных процессов.
Анализ понятия непрерывности, в частности попытка дать не опирающееся на непосредственное воззрение доказательство теоремы о существовании предела ограниченной возрастающей последовательности чисел, привел Дедекинда в 50 — х гг. 19 в. к первому построению теории иррациональных Ч. на основе отчетливо формулированных логических определений.
Параллельное рассмотрение системы рациональных Ч. и соответствующих им рациональных точек на числовой прямой приводит к заключению, что рациональные точки — 1
vs +1 ^1^2 1И+2
3 Рис. 2.
не заполняют непрерывным образом всей прямой, а оставляют в ней свободные места, соответствующие концам несоизмеримых с единицей отрезков. Каждое такое свободное место занимает однако определенное положение среди всех рациональных точек, разбивая их на два класса, расположенных от него влево (нижний класс) и вправо (верхний класс). При этом в соответствии со свойством плотности рациональных точек на прямой в нижнем классе соответствующих рациональных Ч. нет наибольшего, а в верхне м — наименьшегоЧ. Характеризуя этим последним свойством отсутствие непрерывности в системе рациональных Ч., Дедекинд принимает за определение непрерывности прямой то ее свойство, что всякое разбиение ее точек исчерпывающим образом на два класса А и В так, чтобы все точки класса А были расположены левее всех точек класса В (такое разбиение называется «сечением» Дедекинда), непременно связано с наличием либо в классе А крайней правой либо в классе В крайней левой точки, «производящей сечение», а задачу построения систем действительных Ч. рассматривает как задачу дополнения системы рациональных Ч. до непрерывной системы путем введения новой категории Ч., заполняющих указанные свободные места. В соответствии с этим за определение иррационального Ч. принимается следующее положение. Каждое сечение в области рациональных Ч. определяет нек-рое иррациональное Ч., большее каждогоизЧ. нижнего и меньшее каждого изЧ. верхнего класса.
Обычное построение последовательных приближений иррационального Ч. с недостатком и с избытком включается, как частный случай, в эту общую схему, устанавливающую скалярное расположение действительных Ч. Сумма двух иррациональных Ч., отвечающих сечениям,(А, В) и (Ах, Вх), определяется как Ч., соответствующее сечению (А + Ах, В — 1 — Вх), верхний и нижний классы к-рого образуются путем сложения рациональных Ч., входящих в соответственные классы сечений (А, В) и (Аъ Вх). Аналогично определяются и остальные операции.
В ведущей свое начало от Вейерштрасса арифметической теории иррациональные Ч. определяются как бесконечные десятичные дроби (примером получения таких дробей может служить процесс извлечения V2 по известным правилам), операции над к-рыми устанавливаются е помощью соответствующих действий над конечными начальными отрезками таких дробей, образующими рациональные приближения иррационального Ч. Гораздо более общие черты пр сдельных процессов анализа отражены в теории сходящихся последовательностей Кантора.
В схеме рациональных точек на числовой — прямой для всякой иррациональной точки А может быть построен ряд неограниченно приближающихся к ней рациональных точек Ах, А2, Аз,...
Отсутствие в системе рациональных Ч. предела последовательности ах, а2, а3,..., соответствующих точкам Ах, А2, А3,... рациональных Ч., и характеризует собой наличие в системе рациональных Ч. свободного места, отвечающего точке А числовой прямой. Заполнение этих пробелов поэтому может быть осуществлено путем присоединения к системе рациональных Ч. новой категории Ч., определяемых сходящимися последовательностями рациональных Ч., т. е. такими последовательностями, к-рым соответствуют на числовой прямой (являющейся здесь в роли представителя всякой непрерывной величины вообще) ряды точек, неограниченно приближающихся к нек-рой определенной точке числовой прямой. Не опирающийся на геометрические соображения внутренний характеристический признак сходящихся последовательностей
