как аликвотных долей единицы (дробей с числителем 1), а затем и в общем случае как сумм нескольких таких долей.
Действия над дробями (включая и умножение, связанное с измерением площадей и теорией пропорциональных величин), уже у греков и индусов проводящиеся в виде рассуждений над соответствующими конкретными величинами в форме, достаточно близкой к современной, в течение всего последующего времени остаются необходимым орудием практика; значительное усовершенствование действий над дробями, благодаря систематическому употреблецию десятичных дробей, относится уже к концу 16 в. и принадлежит эпохе, требования к-рой в отношении быстроты и точности вычислений характеризуются изобретением и построением таблиц логарифмов, тригонометрических функций и т. д. на базе установившейся уже в основных чертах техники производства вычислений с целыми числами.
В 16 в. получает признание и взгляд на дробь, как на отвлеченное Ч., лишь с большим трудом прокладывавший себе путь сквозь установившееся еще со времен Евклида ограничение области Ч. целыми Ч., и представление о неделимости единицы, в связи с к-рым Стифель (1553) называет дроби «воображаемыми» Ч. Синтез в общем понятии умножения (multiplicatio) — действия, сопровождающегося уменыпение м множимого при умножении на правильную дробь, также вызвал затруднения еще в начале 16 в. Формальное обоснование теории дробных Ч. в 19 в. не представляло уже никакого труда (ср. Дроби).
Операторная теория (см. выше) приложима и в этом случае. Для порядковой числовой шкалы характеристика значений направленной величины дробными Ч. зависит от выбора нулевой и единичной точки (условное начало отсчета и условная единица меры). Рациональные (т. е. целые и дробные) числа, рассматриваемые как отношения разностей (переходов), имеют инвариантное относительно возможных выборов начала и единицы меры количественное значение.
В полной аналогии с двояким значением ноля иединица как количественное Ч. (отношение) выражает в этой схеме независящий от условности в выборе шкалы факт равенства двух разностей (переходов). На числовой прямой этому соответствует равенство по длине и одинаковая направленность двух отрезков. Имеющие граничное значение для количественного счета дискретных предметов ноль и единица приобретают вновь значение абсолютного начала и меры с более широким содержанием в системе отношений разностей значений направленной величины. Осложнения на историческом пути образования общего понятия Ч. в значительной мере зависели от различного конкретного смысла операций над Ч. в промежуточных сочетаниях условного и абсолютного начала и меры. Расширение первоначального понятия о Ч. до общего понятия об отвлеченном рациональном Ч.
(так же, как и последующие обобщения) с этой точки зрения с необходимостью вытекает из потребности отразить в области Ч. объективные количественные взаимоотношения величин, не зависящие от условного выбора опорных точек числовой шкалы.
В области рациональных Ч., рассматриваемой со стороны ее формальных свойств, становится выполнимой и однозначной, кроме операции вычитания, также и операция деления, за исключением случая деления на ноль. Обладая указанного рода полнотой или замкнутостью в отношении арифметических действий первых двух ступеней, совокупность всех рациональных Ч. является частным случаем т. н. числового тела (области, корпуса),. характеризующегося следующими свойствами. 1) Операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль) всегда выполнймы и однозначны. 2) Действия сложения и умножения подчиняются сочетательному, переместительному и распределительному законам, выражаемым формулами а + (& + с) = а 4- & + 4 — с, а (Ъс)*=аЪс\ a-j- &=&+«, аЬ=&а, («+&>= = ас + Ъс.
В отношении порядкового расположения рациональные Ч. в соответствии с обычными определениями понятий «больше», «равно» и«меньше» образуют т. н. скалярною (линейную) величину (см.), отличаясь от области целых Ч. свойством плотности, заключающимся в том, что между всякими двумя рациональными Ч. находится неограниченное Ч. промежуточных рациональных Ч. Несмотря на это мощность множества всех рациональных Ч. совпадает с мощностью натурального ряда, т. е. все рациональные Ч. можно перенумеровать (разумеется не в их обычном расположении по величине).
Этот на первый взгляд парадоксальный факт, отмеченный впервые Кантором, легко обнаруживается, если, расположив все положительные дроби в таблицу
1 2 3 4*** j2_2_2 2 1 2 3 4**’ строки к-рой содержат дроби с данным числителем и возрастающим знаменателем, начать нумерацию с левого верхнего угла таблицы и продолжать по диагоналям в Согласии со схемой 1 3 6...
2 5...
4 ...
Каждой дроби верхней таблицы будет соответствовать одно и только одно Ч. нижней и наоборот.
Иррациональные Ч. Задача измерения непрерывной величины, т. е. выражения всякого значения такой величины Ч., не может однако быть разрешена с помощью одних рациональных Ч. Существование несоизмеримых между собой отрезков, отношение к-рых не равно никакому рациональному Ч., было хорошо известно еще грекам и неизбежно обнаруживается при определении с помощью теоремы Пифагора, с именем к-рого историческое предание и связывает т. н. «открытие» иррациональных Ч., длины гипотенузы прямоугольного треугольника по длине его катетов.
Так, для длины диагонали х квадрата со стороной 1 получается соотношение х2 = 2, к-рому нельзя удовлетворить никаким рациональным Ч. Действительно, полагая х равным несократимой дроби с числителем р и знаменателем q, мы получимр2 =2q2, откуда вытекает, что р — Ч. четное; полагая р = 2 г, найдем 4 г2 = 2q2 или q2 = 2 г2, откуда следует, что и q — четное Ч., вопреки предположению о несократимости дроби p:q.
В той системе греческой геометрии, которая нашла свое завершение в «Началах» Евклида и на долгое время определила методологические установки теоретической математики, одновременно с нахождением методов разыскания общей меры двух отрезков в случае, если они соизмеримы (алгорифм Евклида), выясняется и бесконечность этого процесса для случая несоизмеримых отрезков. Затруднения, вытекающие отсюда в отношении задач измерения,, были преодолены в системе Евклида поразительным по теоретической глубине построением общей теории отношений и пропорций. Наряду с этим у позднейших геометров, напр. у Архимеда, мы находим уже значительно большую близость к вопросам прикладного характера, и в частности к задаче приближенного выражения значений несоизмеримых отношений, а также (в методе «исчерпывания») и характерные для современного анализа черты предельного процесса.
При всем том сравнительно слабое развитие техники, отсутствие алгебры и удобного для числовых выкладок арифметического аппарата и связанное с общей философской установкой геометров школы Евклида непризнание бесконечных процессов, а также резкое ограничение теоретической математики от прикладных вопросов повело к тому, что учение о непрерывных величинах не вышло в общей системе греческой математики за пределы указанной геометриче-
