число
делана в этой области буржуазной философией математики.
Отрицательные Ч. естественнымобразом появляются, во-первых, как промежуточные результаты алгебраических преобразований (хотя бы и производимых в словесной, а не в современной символической форме) и, во-вторых, как решения (корни) алгебраических уравнений. Систематическое применение отрицательных Ч. в общих формулах и их использование в качестве коэффициентов алгебраических уравнений одновременно с введением ноля как самостоятельного числа впервые встречается у индусов (6—11 вв.), истолкование к-рыми отрицательных Ч., ноля и действий над ними на примерах простейших направленных величин (долг, имущество, направленные отрезки на прямой, время, отсчитываемое от данного момента) мало отличается от современной элементарной трактовки тех же вопросов. В этом отношении средневековые европейские алгебраисты, разрабатывавшие по преимуществу формальные приемы решения уравнений, стояли долгое время значительно позади индусов и либо совсем не рассматривали отрицательных решений уравнения либо, получая такие решения с помощью алгебраических преобразований, считали отрицательные числа фиктивными, неправильными, абсурдными Ч., «меньшими, чем ничто».
Положение долгое время сохраняло яркие черты диалектического противоречия между общепринятым понятием о Ч., ограниченном областью положительных Ч., и неизбежно появлявшимися в формальных выкладках отрицательными Ч., подчинявшимися обычным правилам действий, но допускавшими лишь неполное реальное истолкование с помощью обычной узкой схемы долг — имущество. Лишь в 16 в. в завершенном Декартом синтезе общей алгебры с учением о геометрических величинах мы встречаем геометрическое истолкование отрицательных Ч., как направленных отрезков уже на значительно более широкой основе аналитической геометрии. Декарт первый систематически допускает для одной и той же буквы отрицательные и положительные значения, рассматривает и строит отрицательные корни уравнений наравне с положительными, устанавливая переход одних в другие при линейных преобразованиях уравнения, соответствующих преобразованиям координат, не меняющим геометрических свойств изображаемой уравнением кривой. Этим были заложены основы объединения отрицательных и положительных чисел в общем понятии относительного числа как числовой характеристики направленной величины вообще. Неясности, связанные с вопросами логического обоснования этого синтеза, были устранены лишь в середине 19 в.
Грассман одновременно с построением аксиоматики целого положительного числа продолжает натуральный ряд 1, 2, 3, 4,... влево, вводя О как число, предшествующее 1, — 1, как число, предшествующее 0, и т. д. Теория такого двустороннего ряда, соответствующего распо. — 1------ ----- 1—1------------ 1—1-------2—1 0
+1 +2, Рис. 1.
ложению точек на «числовой прямой», гне заключает в себе никаких добавочных принципиальных трудностей. — Вошедшая в совре 636
менные учебники алгебры методика введения относительных чисел не оставляет уже никаких пробелов в вопросе о том, что должно быть принято за определение и что должно быть доказано.
Интересное в методологическом отношении общее построение (подвергнутое формалистическому обесцвечиванию в ряде позднейших обработок) развито Гамильтоном в первой половине 19 в. в связи с обоснованием теории комплексных чисел и кватернионов. Операторная теория Гамильтона основана на рассмотрении операций «перехода» (step) от значения А нек-рой величины к другому ее значению В, как значений нек-рой направленной величины, символически обозначаемых знаком а=В-А. Применение переходаа = В-А к значению А исходной величины выражается формулой А+а=В, или В = А+(В — А).
Если А и В означают положительные Ч., то напр.
3=5+(3—5), причем знак 3—5 символизирует переход от 5 к 3 и геометрически соответствует на числовой прямой направленному отрезку с началом в точке 5 и концом в точке 3. Переход с = С-А называется суммой двух переходов а=В-А и 6 =С-В, такчто(С-А)=(С-В) +(В-А).
Если исходная величина такова, что имеет смысл говорить о равенстве двух переходов от различных начальных точек, то система переходов образует направленную величину, в к-рой без труда истолковываются операции сложения и вычитания относительных чисел. При включении операций второй ступени относительное Ч., напр. ±3, рассматривается как знак действия (оператор),, превращающий какой-либо переход а в утроенный переход За того же (оператор+3) или противоположного (оператор — 3) направления. Применение оператора а к переходу а обозначается знаком аа. Сумма двух операторов а и 0 определяется формулой (а + Д) а = =аа + Да с вытекающими отсюда обычными правилами действий. Произведение оператора а на оператор 0, по определению, есть действие, состоящее в применении оператораак результату, полученному от действия оператора 0 на исходный переход, что записывается с помощью формулы (o0) a=a(0d).
Правила знаков при умножении и делении получают в этой трактовке совершенно прозрачный смысл. В свете этой концепции становятся ясными некоторые вопросы, связанные с характеристикой математической величины числом. Во многих случаях мы имеем дело с числовой шкалой, преследующей цель порядковог о расположения нек-рой величины (напр. шкала твердости, шкала цветов и т. п.). Нулевая точка такой шкалы и самые деления в общем случае условны, а понятие о сумме двух значений такой величины лишено реального содержания. Но разности значений такой величины (переходы) могут уже образовать аддитивную направленную величину в количественном смысле слова, как это имеет место напр. для промежутков времени, разности температур и т. д. (между тем говорить о сумме двух моментов или двух температур в виду порядкового смысла этих числовых характеристик можно лишь условно).
Ноль, для величин существенно положительных имеющий предельное значение абсолютного начала отсчета, отвечающее отсутствию величины, в качестве порядковой характеристики условен, а в области разностей имеет вновь абсолютное количественное значение, отражающее независящий от условности в выборе шкалы факт совпадения двух значений величины. — Операторы умножения порождаются, вообще говоря, второй направленной величиной, чем и объясняется в значительной мере путаница с правилом знаков при попытках истолкования относительных Ч. на одной какой-либо схеме (долг — имущество и т. д.).
Дробные числа. Возникающие из операции деления, производимой над такими объектами, для к-рых имеет смысл разбиение единицы на равные доли, дробные числа встречаются уже в древнейших известных математических рукописях (ср. Арифметика). Измерение таких величин, как длина, площадь, вес, время и т. п., не отличающееся в примитивной форме от простого счета, с увеличением потребности в получении более точных количественных характеристик приводит к подразделению основной единицы меры на части, первоначально получающие особые наименования, так что процесс измерения и деления практически совершается с помощью целых Ч. Невозможность с помощью такого приема точно охарактеризовать числом результат деления заданной величины даже на сравнительно небольшое Ч. частей обусловливает образование дробных Ч., первоначально
