число
анализе понятия Ч. не воспользоваться какнибудь в неявном виде этим же понятием, что означало бы однако обоснование целого Ч. целым же Ч., т. е. порочный круг. Примененная т. н. логистами (Пеано, Рессель и др.) символическая логика (идеография) имела своей первоначальной целью такое усовершенствование процесса математического доказательства, к-рое сделало бы абсолютно явными и обозримыми — в виде символической буквенной записи — все ступени этого процесса. Однако лежащая в основе этой логики метафизическая теория познания (мир как совокупность неизменных элементов и отношений между ними) не позволила логистам — несмотря на отдельные достижения — действительно проникнуть в сущность математического доказательства, благодаря чему искусственный и тяжеловесный аппарат этой логики. претендовавшей на роль универсальной алгебры математики, не оказал сколько-нибудь существенного влияния на дальнейшее развитие математики.
Изложенная Пеано целиком с помощью идеографии арифметическая теория развертывается на основе следующих аксиом: 1) ноль есть целое Ч. 2) Ноль не есть следующее ни за каким целым Ч. 3) Следующее за целым есть целое 4. 4) Два целых Ч. равны, если следующие за ними равны. 5) Если какой-либо класс содержит ноль и содержит следующее за каждым содержащимся в нем целое Ч., то он содержит все целые Ч. Совокупность этих пяти положений следует рассматривать как аксиоматическое (неявное) одновременное определение входящих в них терминов «ноль», «целое число», «следующий за».
Фундаментальное значение пятой аксиомы (принципа полной индукции) зависит от . соответствия ее самому закону последовательного порождения натурального ряда путем перехода от одного натурального Ч. к следующему за ним. Для всякого конечного Ч., построенного именно путем таких переходов, должно т. о. иметь место всякое предложение, доказанное с помощью принципа полной индукции. В этом смысле пятую аксиому можно рассматривать как попытку общей логической характеристики конечных совокупностей на основе процесса пересчета их элементов. С другой стороны, поскольку натуральный ряд представляет, собой бесконечную совокупность, пересмотреть, перебрать один за другим «все» элементы к-рой невозможно, — принцип полной индукции, как единственный основной источник общих предложений, заключающих в себе утверждение, что «все» целые числа обладают некоторым свойством, приобретает характер положения исключительной принципиальной важности, занимающего центральное место в системе арифметических аксиом.
С помощью принципа полной индукции доказывается (Гельмгольц, Кронекер) и предложение о независимости Ч. объектов конечной совокупности от порядка счета, связывающее теорию порядкового и теорию количественного Ч. В этой последней предложение о независимости Ч. от порядка счета, выражающее невозможность установления взаимно-однозначного соответствия конечной совокупности и ее части, обусловливает натуральное расположение конечных количественных Ч. в порядке возрастающих мощностей.
Доказательства предложений арифметики, опирающиеся в системах Грассмана и Пеано на порядковый смысл целого Ч., отличаются значительной искусственностью по сравнению с обычными математическими рассуждениями, использующими также и количественный смысл целого Ч. как характеристики мощности множеств. Дальнейшие работы (Фреге, Кантора, Дедекинда и Ресселя) ставят своей задачей исследование понятия о количественном Ч., пытаясь восполнить указанный пробел путем сведения основного, первоначального для математи 634
ческого понятия целого Ч. к более общим логическим понятиям. Развитые при этом Кантором идеи позволили ему не только выяснить ряд замечательных свойств бесконечных совокупностей, но и развить самое понятие целого Ч. путем образования более широкого класса т. н. трансфинитных чисел (см.), в области которых расщепление на ординальные (порядковые) и кардинальные (количественные) Ч. сопряжено с существенным отличием обеих систем Ч., в пределах натурального ряда сохраняющих полный параллелизм.
Дальнейшее развитие этих теорий, основная задача к-рых состояла в изучении и обосновании математической бесконечности, привело однако к целому ряду парадоксов, поставивших под сомнение основные законы и понятия классической формальной логики (в особенности т. н. закон исключенного третьего) в применении к бесконечным совокупностям, основным источником к-рых в математике является натуральный ряд Ч. Неудачи всех попыток преодолеть эти принципиальные затруднения в рамках формально логических теорий лишают эти последние того фундаментального значения, к-рое они должны были иметь по. замыслу авторов.
То же относится и к сравнительно недавним попыткам герм. математика Гильберта и его школы, принимая за данное логику суждений, относящихся к конкретным конечным совокупностям, обосновать одновременно аксиомы логики бесконечных совокупностей и арифметики на основе формализации соответствующего логического аппарата. Создавшееся положение привело некоторых математиков-идеалистов (Броуэр, Вейль) к убеждению в невозможности обосновать в рамках рационального математическую бесконечность вообще и бесконечность натурального ряда Ч. в особенности. Натуральный ряд чисел стал рассматриваться как нечто сверхразумное, непосредственно данное нам в интуиции — в смысле кантовского наглядного созерцания a priori как особого источника познания — и не нуждающееся в логическом обосновании. В теорию целого Ч. были привнесены элементы философского догматизма. Основная причина неудачи всех попыток обоснования натурального ряда чисел в их идеалистической и метафизической методологии, с характерным для такой философской установки стремлением втиснуть все богатство изучаемых соотношений в узкие рамки формально логических схем.
С точки зрения материалистической диалектики основной задачей здесь является выработка понятий, с достаточной полнотой и правильностью отображающих все своеобразие количественных отношений материальной действительности, лежащих в основе понятия о числе.
Путь к решению этой задачи должен быть проложен методами диалектической логики, требующей рассмотрения всех понятий в их взаимозависимости, в истории их возникновения и развития, в их связи с материально-производственной практикой человечества. Обоснование целого Ч. должно базироваться на конкретном изучении его роли в математике и ее приложениях, а не привнесено извне в виде философского догмата. В настоящее время задача обо-* снования арифметики является проблемой, ждущей не только своего разрешения, но и правильной методологической постановки самого вопроса. При этом должна быть принята во внимание и вся та работа, которая про-
