число
дартной, лювокупности вполне характеризуется весь на*гальный отрезок ее, поставленный в соответствие с элементами подлежащего счету множества.
Так напр., многие системы числительных первобытных народов соответствуют названиям частей тела, — используемых в качестве стандартной совокупности при счете; при этом первым пяти числам отвечают обычно названия пальцев, числу пять — название руки (кисть, пясть) или большого пальца, числу шесть — «палец с другой руки», а в других системах — «запястье», за к-рым следует «локоть» (семь), «плечо» (восемь) и т. п.
Это первоначальное смысловое значение числительных с течением времени утрачивается, и сохраняется лишь система словесных или графических симв о л ов, р асп одагаемых вустановившемся порядке и допу скающих не ограниченное пополнение по тем или иным законам, зависящим от выработавшейся системы счисления и цифрового обозначения чисел.
Так. обр. наряду с количественным Ч., как характеристикой мощности совокупности, процесс счета выдвигает на первое место порядковое Ч., как характеристику («номер») места, занимаемого данным элементом в некоторой расположенной совокупности. Концепция порядкового Ч. может быть установлена независимо от понятия о количественном Ч., как результат абстракции от качественных различий одинаково расположенных совокупностей. С этой точки зрения каждый элемент любой расположенной совокупности, напр. системы знаков 1, 2, 3, 4,... или а, б, в, з, д,..., может служить заместителем абстрактного понятия о порядковом числе, если при оперировании с такой совокупностью опираться только на те взаимоотношения между ее элементами, к-рые зависят от их взаимного расположения, а не от их добавочных качественных свойств. В таком смысле следует понимать и формальное определение натурального ряда порядковых Ч. 1, 2, 3, 4, ...» как системы, в к-рой каждый элемент определяется cbqiim положением в данном ряду: так, «число» 1 определяется тем, что оно есть первый (не следующий ни за каким) элемент ряда, число 2 непосредственно следующий за 1, 3 — следующий за 2 и т. д.
Натуральный ряд не имеет последнего члена и представляет собой бесконечную совокупность. Однако исторически он отнюдь не всегда рассматривался как не имеющий последнего члена. Об этом свидетельствует и употребление таких слов, как «тьма», «сорок сороков» и др. в качестве имен числительных, игравших в известном смысле слова роль последнего члена натурального ряда — наибольшего мыслимого Ч. Еще Архимед должен был специально доказывать в своем «Псаммите, или исчислении песчинок», что число песчинок в мире конечно, ибо можно указать заведомо большее его Ч.
Трактовка натурального ряда как бесконечной расположенной совокупности представляет собой шаг исключительной принципиальной важности, благодаря к-рому натуральный ряд приобретает специфические качественные свойства бесконечной совокупности, а арифметика как учение о натуральном ряде становится наукой, содержание которой далеко выходит за первоначальные пределы учения о конечных совокупностях.
Если первоначально число служит лишь для счета предметов, все операции производятся непосредственно над совокупностями, к элементам к-рых напр. присоединяются или отнимаются элементы других совокупностей, то в дальнейшем выясняется возможность оперировать не непосредственно с совокупностями, а с числами. Далее вводятся основные операции арифметики, дающие возможность отобра 632
зить нек-рые реальные отношения между совокупностями в виде соотношений между Ч., причем обогащается и развивается самое понятие Ч. [возникает напр. подразделение всех чисел на четные и нечетные, простые и составные; каждое целое число получает индивидуальные свойства, изучение к-рых входит в задачи т. н. теории чисел (см. Чисел теория)]. Более сложные соотношения действительности, отображаемые в операциях над Ч., приводят к дробным, отрицательным, иррациональным и мнимым Ч., логическое обоснование которых представляло для математиков значительные трудности и привело’ в конце-концов к проблеме обоснования натурального ряда Ч.
Особенное значение приобретает эта проблема во вторую половину 19 в., когда задачи обосно•вания геометрии и анализа, стоявшие в ту пору в центре внимания многих крупнейших математиков (неевклидовы геометрии, исследования Кантора, Дедекинда и Вейерштрасса), уперлись в проблему обоснования арифметики целого Ч. По образцу геометрии арифметику пытаются сначала обосновать аксиоматически. Задача заключалась в том, чтобы из свойств ряда натуральных Ч., отражающих, как мы видели, свойства конечных совокупностей, выделить основные, приняв к-рые в качестве аксиом, можно было бы получить все следствия, составляющие содержание арифметики, формальными дедуктивными рассуждениями без повторных обращений к непосреДственнымпредставлениямо конкретных совокупностях предметов. Первая такая система была предложена в 60 — х гг.
19 в. Грассманом для натурального ряда порядковых Ч. на основе определений рекуррентного, или индуктивного типа, представляющих перенесение в область аксиоматики основной идеи способа доказательств общих предложений, известного под именем полной математической индукции (см.).
Метод полной математич. индукции заключается в следующем. Если"какое-либо предложение доказано для Ч. 1 и если доказано, что оно верно для Ч. п + 1, коль скоро оно верно для Ч. п, то это предложение верно для всех Ч.
Так напр., справедливость формулы 1 +2+3 +... +п = =|п (п + 1) для всех значений Ч. п вытекает из того, что
она верна при п = 1 и из равенства (l+2+3+...+n)+(n+l)=-n(n+l)+(n+l)=-(n+l)[(n+i)+i], к-рым утверждается, что эта формула верна для Ч. п + 1, если она верна для Ч. п. Будучи верна для п = 1, она т. о. должна быть верна для п =2, следовательно дляп =2+1=3 и т. д. Нетрудно видеть, что для проведения изложенного выше рассуждения о сумме Sw = l+ 2 + ...+ n достаточно знать только, что Si = 1 и Sn+1 =Sn+n+i, причем последние два равенства однозначно передают смысл операции, обозначенной знаком Sw, и могут поэтому рассматриваться как ее индуктивное определение.
Так. обр. определение сложения напр. состоит в арифметике Грассмана из двух положений: 1) сумма а + i Ч. а и единицы есть Ч., следующее за а в натуральном ряду.
2) Сумма Ч. а и Ч., следующего за и. есть Ч., следующее за Ч. а+n [что может быть также записано в форме а+(п+1) =(а+п)+1]. Определение умножения гласит 1) а«1=а, 2) а(п+1)=ап+а. Доказательство всех основных свойств арифметических действий проводится без труда по методу полной математической индукции.
Построения Грассмана лежат в основе дальнейших работ Пеано, Ресселя и др., пользующихся в вопросах обоснования математики идеографической записью математических доказательств (формализованной логикой). Дело в том, что анализ таких основных, миллиарды раз встречающихся и имеющих прочность предрассудка понятий, как понятие (целого) Ч., именно в силу этого их характера представляет огромные трудности. Так напр., очень трудно при
