ЧИСЛО. Понятие о числе, первоначально включавшее лишь целоеЧ., являющееся результатом счета дискретных предметов, в своем развитии получило значительно более широкий смысл путем включения в общее понятие о числе дробных, отрицательных, иррациональных и комплексных чисел.
Общая тенденция этого процесса, определяющегося в основном потребностями практики и на отдельных этапах находившегося в сложном взаимодействии с развитием всех частей математики, заключается в последовательном охвате с помощью числа все более и более широкого класса количественных отношений действительности, отвечающих общему понятию математической величины. Так, введение дробных и иррациональных чисел в связи с задачей измерения позволяет характеризовать числом значения непрерывных величин (длина, площадь, время и т. п.), введение отрицательных и комплексных чисел — значения направленных величин (причем в случае отрицательных чисел речь идет о различении двух противоположных направлений, в случае комплексных чисел — о непрерывной совокупности направлений, соответствующих например векторам на плоскости).
НатуральноеЧ. Целое положительное (натуральное) Ч. представляет собой основное понятие математики, возникновение которого (см. Арифметика) относится к доисторическому прошлому, а удовлетворительный методологический анализ является еще делом будущего.
Наиболее близкой к выяснению связи между абстрактным понятием целого числа и его конкретным содержанием представляется связанная с именем герм. математика Кантора концепция количественного и порядкового числа, к к-рой и примыкает нижеследующее изчожение.
При счете мы имеем дело с предметами, к-рые четко отличимы друг от друга и от объектов, не подлежащих в данный момент счету, т. е. выделены каким-либо общим свойством или признаком в одну совокупность («множество»), к к-рой и относится получаемая при счете числовая характеристика. Понятию Ч. т. о. предшествует понятие «множества» или совокупности предметов. Ч. рассматривается кэк одно из свойств, характеризующих множество. Будучи одной из характеристик множества, Ч. является однако безразличной его характеристикой, ибо, если мы знаем только Ч., характеризующее множество, мы еще ничего не можем сказать о конкретном его составе. Так, числом 5 характеризуется пе только множество «частей света», но и множество «пальцев на руке» и множество «лепестков в цветке гороха» и многие другие множества. Чтобы выделить те свойства данного множеств а, к-рые находя тсвое отражёниевЧ., обратим внимание на то, что все множества, характеризуемые одним и тем же Ч., имеют одно общее отличающее их свойство: между элементами двух любых таких множеств всегда можно установить т. н. взаимно-однозначное соответствие, т. е. каждому элементу первого множества поставить в соответствие один (и только один) элемент второго и, наоборот, каждому элементу второго один (и только один) элемент первого.
Это мы и делаем напр., когда считаем предметы «по пальцам». Два множества, обладающие этим свойством, Кантор назвал равномощными, или обладающими одной и той же мощностью.При всем отличии составляющих их элементов все приведенные нами множества, характеризуемые числом 5, на основании этого критерия могут быть объеДиненыв одну категорию равномощных между собой совокупностей, в то время как любое характеризующееся другим число множество имеет уже другую «мощность», т. е. не может быть поставлено во взаимно-однозначное соответствие ни с одним из множеств, характеризующихся числом 5. Так. обр. Ч. является общей количественной (в философском смысле этого слова, т. е. безразличной по отношению к качественному составу множества) характеристикой м н о же ств а в отношении тех его свойств, к-рые являются у него общими совеёмидругими равномощными с ним множествами.
Основные соотношения между Ч. (равенство, неравенство, свойства операций) отражают поэтому те соотношения между совокупностями, к-рые являются инвариантными относительно взаимно-однозначногосоответствия, т. е. не меняются при замене любого множества другим множеством той же мощности. Отсюда в частности следует, что всякая конкретная совокупность может быть использована в качестве представителя всех множеств той же мощности, если при оперировании с нею не опираться существенным образом на конкретные качественные свойства, отличающие ее от прочих совокупностей данной мощности. Такого рода конкретные заместители абстрактного понятия числа исторически играли определяющую роль в первоначальном развитии искусства ’счета, сохраняя свое значение и в дальнейшем в роли вспомогательных аппаратов при производстве арифметических выкладок.
Сюда относятся: счет при помощи зарубок, камешков и костяшек, счет на пальцах и т. п. и в более совершенной форме, включающей уже принцип группировки, — абак (см.) и современные счеты.
Выделение системы таких заместителей в — качестве стандартной из ряда других и введение словесных или других символов для обозначения каждой совокупности такой сйстемы следует считать исходным пунктом развития арифметики как области теоретического знания, позволяющей результаты опытов, произведенных над конкретными совокупностями, зафиксировать в форме небольшого числа основных положений (аксиом арифметики), с помощью которых результат производства действий над множествами может быть предсказан без повторных обращений к непосредственному эксперименту.
Рассматриваемый в этой связи процесс счета заключается в установлении взаимно-однозначного соответствия между исследуемым множеством и одной из совокупностей установившейся стандартной системы. На практике элементы сравниваемых множеств рассматриваются в простейших случаях последовательно, один за другим, причем тот исторический порядок, в котором производилось расширение стандартной совокупности в силу потребности в сосчитывании множеств с большим числом элементов, переносится естественным образом и на самый процесс счета. Названия индивидуализированных по своим качественным свойствам элементов возникающей таким путем стандартной системы объектов приобретают т. о. значение1 числовых символов, т. к. последним употребленным в процессе счета элементом стан-
