ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙаргумента, для к-рых Vi = /(xi) и у2=/(х2) имеют^разные знаки. Проводим прямую через точки (хх; у{) и у2,), лежащие на данной кривой по обе сторонь! от оси абсцисс, и принимаем за приближенное значение корня ту точку х3, в к-рой эта секущая пересекает ось абсцисс. Мы будем иметь тогда: .,
при четырех ординатах
I=
О (Va+SVx + Зра+уь),
при пяти ординатах
I=
•
(7уа + 32у х + 12у2 + З2у3 + 7у»).
Степень точности этих выражений есть п — 1; она на единицу меньше общего числа взятых ординат. Эти формулы легко распространяются на случай, когда интервал (Ь — а) делится на 2п равных частей проведением (2п+1) равноотстоящих ординат. Обозначим опять через у а и УЪ крайние ординаты и положим
Мы имеем тогда:
У2 + 1/4+ • ••>У2П~2 ~ 9,, Ъ-а П = — --- • 2П 1~^(Уа + 2и + 2д + уь), I ’=~(Уа+^+2д+уь),
о
I = 4 (Уа ~ Vi + — Уап — 1 + Уъ) • Эти формулы чтзвестны соответственно под названием формул трапеций Симпсона и Понселэ. Замечательны также формулы квадратур, принадлежащие Чебышеву и Гауссу; в формулах Чебышева степень точности п — 1 абсциссы xlt х2,..., хп выбирается так, что все коэффициенты <71, 92, 9п получают равные значения; в формулах Гаусса степень точности формул при п ординатах повышается до 2n — 1. Это достигается тем, что абсциссы xi..., xw соответствуют корням многочлена Дежандра степени п.
К формулам Гаусса примыкают весьма глубокие исследования П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, Stieltjes’a и др.
Важные исследования по теории квадратур принадлежат также акад. В. А. Стеклову.
’ Лит.: Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, 2 изд., Л., 1933; Занден X., Элементы прикладного анализа, М. — Л., 1932; Горт В., Дифференциальные уравнения, М. — Л., 1933;' Субботин М. ф., Курс небесной механики, М. — Л., 1933; Нумеров Б., Метод экстраполирования, «Известия Академии наук*, Л., 1932, № 1 и ряд статей в «Бюллетене Астрономического ин-та»; Упорйиков Н., Вычисление траекторий, Л., 1931; Charlier С. L., Die Mechanik des Himmels, В. II, В., 1927; Runge К. und Kdnig G., Vorlesungen uber numerisches Rechnen, B., 1924; Whittaker E. and Robinson G., Calculus of odservations, N. Y., 1924 (есть рус. пер.: Уиттекер Э. и Робинсон Г., Математическая обработка результатов наблюдений, Л. — М., 1933); Марков А. А., Исчисление конечных разностей, 2 изд., Одесса, 1910; Статьи В. А. Стеклова, «Известия Академии наук»,; П., 1916, № 3, и 10, 1917, № 3, 8, 10, 1919, № 1, Н. ИдвЛЪСОН.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, сово купность методов, применяемых для определения корней уравнений, т. е. для вычисления с наперед заданной точностью тех значений неизвестной, к-рыми эти уравнения удовлетворяются. Все эти методы распадаются на . две группы: к первой-относятся общие способы вычисления корней любых уравнений как трансцендентных, так и алгебраических; здесь мы должны исходить из какого-нибудь приближенного значения корня, считаемого наперед известным, и затем улучшить его в процессе последовательных приближений до получения значения этого корня с поставленной степенью точности. Во вторую группу входят способы, пригодные только для уравнений алгебраических, причем здесь, в отличие от способов первой группы, приближенное значение корня может и не быть задано: оно получается в результате применения специфического алгорифма, дающего корни уравнения с нужной точностью.
Для пояснения начнем с первых способов и ограничимся лишь вещественными корнями; допустим, что приближенные значения корней ур-ия /(х)=0 нам известны, напр. найдены по графику функции v = f(x) как точки пересечения этой кривой с осью абсцисс. Для дальнейшего улучшения применяется обычно линейная интерполяция в виде так наз. «правила ложного положения» (regula falsi) или же в виде способа Ньютона. Пусть х, и я*г>Х1 суть достаточно близкие между собой значения
6, 26)
! — Г — Г
i
- ,
- |
' I
(Х2~~^1)|1/1Г
L
(Х2 — X^lf/21
-
\У1\ 2
• IV2I + IV1I ;где через (у) обозначено численное значение у; если1/з — ^/(зез) окажется отличным от ноля (в пределах поставленной точности), то повторяем этот процесс, находим значение х3 в пересечении оси абсцисс с секущей, проведенной через (х3, у3,) и ту из точек (хь 1/1) или(х2, у2), к-рая лежит по другую сторону оси абсцисс, и действуем так, пока в пределах точности данного вычисления yn — f(Xn) не окажется равным нолю. Способ Ньютона отличается от описанного правила <<ложного положения» тем, что вместо секущих здесь проводятся касательные. Цусть снова для Xj и х2 значения и. у2 имеют разные знаки; допустим еще, что в интервале (хх х2) первая производная от / (х) не обращается в ноль, а вторая не меняет знака.
Возьмем то из значений х х или х2, при к-рому имееттот же знак, что и /"(х); пусть это будет напр. х2; тогда приближенное значение корня получается по формуле Ньютона: 31
IV2I +
3~
‘
Очевидно, что х3 будет точкой пересечения с осью абсцисс касательной к кривой у=/(х), проведеннбй в ее точке ! (х2, у2). Этот процесс можно повторять; сходимость его доказывается в анализе при условии, что мы постоянно исходим из той точки (у, х), где f"(x) имеет знак, одинаковый со знаком у.
- Отметим еще, как весьма важный и общий способ численного решения уравнений, т. н, ме
- тод итерации, удобно применяемый в тех случаях, когда ур-ие приведено к виду х=<р (х).
Пусть хх' есть приближенное значение корня:’находим х3 = у(х2) и т. д.; можно доказать, что если [р'(Я1)]<1> то этот процесс сходящийся, так что limxn=^ !
П — >оо =х = <р (х). Вычисления по этому способу можно несколько сократить, если пользоваться приемом, на к-рый указал еще Гаусс: пусть х0 — исходное значение; xlt х2, х3 — три последующих» цолученных в процессе итерации. Положим X2 — Xi=<5i; х3 — х2=<52; <52-<5i=d; тогда более точное значение для следующий приближений будет: .
<52 х4=х3 — j
х2=ф(х!);
Из числа методов, имеющихся для решения алгебраических уравнений высших степеней, отметим здесь так наз, способ Греффэ (Graffe, 1837); его предложил и Н. И. Лобачевский (1834), а основа метода восходит еще к Д, Бернулли (1728) и Эйлеру.
• Пусть дано уравнение: aoxw + ахх^-1 + ... ап = 0; (1> помощью простых операций составляется ур-ие, корнц к-рого равны квадратам корней ур-ия (1); затем уравнения, корни к-рых равны четвертым, восьмым... степеням корней ур-ия (1). После К операций придем к ур-ию: coz^+dzw-i ... сп = 0и (2> корни к-рого равны корням (1) в степени т= 2К. Если х> есть наибольший по численной величине корень ур-ия (1), то наибольший корень ур-ия (2), равный ххт, будет настолько превосходить по Чйсленной величине все остальные корни ур-ия (2), что в тех зависимостях, к-рые связывают коэффициент этого ур-ия с суммой его корней, с суммами произведений его корней по два, по три и т. д., — можно будет отбросить все слагаемые, не заключающие корня zx; это дает возможность найти корни zx, z2, ... zn,,, С1 C2 СП как отношения коэффициентов —
- — ;...; — отсюда, с0 d cn-i извлекая логарифмически корни степени т = 2Л, найдем численные значения корней предложенного ур-ия (1); знаки их определятся пробной подстановкой в ур-ие (1).
Лит.: Граве Д., Элементы высшей алгебры, Киев, 1914; Крылов А., Лекции о приближенных вычислениях, 2 изд., Л., 1933; Млодзеевский Б., Решение численных уравнений, М,, 1924; Занден Г., Элементы прикладного анализа, М. — Л., 1932; Вебер Г. и В ельштейн И., Энциклопедия элементарной математики, т. I, 3 изд., М. — Л., 1927; Смирнов В., Курс высшей, математики, т. II, 3 изд., М. — Л., 1932; Runge К., Praxis der Gleichungen, 2 Aufl., Berlin, 1921; Runge K.
u. К 6 n i g H., Vorlesungen uber numerisches Rechnen, B., 1924. По поводу итерации см. Г ay с с К., Теоретическая астрономия, Петербург, 1919, стр. 168; по этому же вопросу имеется заметка G а 1 оisЕ., Obuvres math^matique^ Р., 1897. По вопросу о схемах для решения систем линейных уравнений см. литературу по способу наименьших квадратов, напр. Идельсон Н., Способ наименьших квадратов, 2 изд., гл. I, Л., 1932.
Н. ИдеЛЪСОН.
