ЧИСИМА — ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕных математического анализа. Однако до настоящего времени мы не знаем> трансцендентен или алгебраичен целый ряд других чисел, встречающихся нам в анализе, в том числе важная Эйлерова постоянная С.
В 1930 московский математик А. О. Гельфонд дал новый метод, позволивший обнаружить трансцендентностЬ — болыпой группы чисел, в том числе еп и 2^а.
Лит.: Граве Д., Элементарный курс теории чисел, 2 изд., Киев, 1913; Егоров Д. Ф., Элементы теории чисел, М. — П., 1923; Dirichlet Р. G., Vorlesungen uber Zahlentheorie, 4 B-de, 3 Aufl., Braunschweig, 1879; по аналитической и алгебраической теории чисел: Landau Е., Vorlesungen iiber Zahlentheorie, Teile 1—3, Lpz., 1927; специально по распределению простых чисел: Lan d a u E., Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 2 В-de, Lpz., 1909.
ЧИСИМА (Chi-chima), или Цисима, японское название Курильских островов (см.).
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Вычисление определенных интегралов и численное интегрирование дифференциальных уравнений представляют собой отдел прикладного анализа, особенно важный во всех его приложениях к технике, теоретической механике и астрономии. Однако именно в истории развития методов численного интегрирования можно указать ряд случаев, когда способы, уже предложенные и пригодные для решения любых конкретных задач, затем приходили в забвение и вместо них выдвигались новые способы, уступающие прежним в простоте и удобстве. Только в наст, время весь комплекс вопросов, относящихся к численному интегрированию, можно считать окончательно выясненным, преимущественно работами астрономов-теоретиков. Основная задача сводится к интегрированию уравнения:
где у — искомая функция, подчиненная начальному условию у = уо при t = t0 и подлежащая вычислению для любого значения независимой переменной t; F (у, t), — функция, которую будем считать заданной либо аналитически, либо таблицей, расположенной по аргументу у, либо наконец графически. Формально можем написать t
F(y, t) dt + y0;
у to
главное затруднение состоит в том, что функция у, стоящая под знаком интеграла, нам неизвестна. Это затруднение исчезает в том случае, когда F от у не зависит вовсе и задается как функция одной независимой переменной t; мы имеем тогда дело с вычислением определенного интеграла или, как обычно говорят, с численной («механической») квадратурой. Но вопросы квадратур решены в начале 19 в. Гауссом, Лапласом, Лежандром, давшими весьма удачные формулы вычисления определенного интеграла через ряд последовательных значений функций отделенных промежутком &t = h независимой переменной и через разности этих значений первого, второго и высших порядков.
Вместо F t) вводим функцию /(у, «) = hF (y,, t) и пользуемся обычным обозначением ее разностей: t]i)\ fk+i — f (Ух+1> Ow-i); ? — f — f 1n= f1 — fl ЧЦ 'ls+1 ’kt 'k м 'k-iДопустим, что для равноотстоящих моментов t0, tx, l2, ...» tfs получены уже значения искомой функции у, — именно: Уо, У1, ...» ук, и соответственно этому вычислены значения /о, ft, • ••Лк — Задачй, интегрирования состоит в том, чтобы найти то приращение ДуА, которое нужно придатьк последнему, найденному ук, чтобы получить Wt+X. Для этого имеется формула Гаусса (опубликованная его учеником Энхе в 1837)
4= AU~Г2 'м+ ? го'ы — •’
о
где все величины со знаком представляют собой полусуммы значений функции / (у, О и ее четных разностей на уровне строк k и ft4—1 • Если речь идет о механических квадратурах, то можно наперед вычислить //i+lr /а+2 а следовательно и разности, входящие в выражение Дук; но если задача состоит в интегрировании уравнения, то в момент образования ук будут известны только/, и ряд восходящих разностей И1 ; /, п! к 'Л-з 4tr-V к-% ит. д.; следовательно к интегрированию уравнений ф-ла Гаусса непосредственно применена быть не может; однако если разностями четвертого и высших порядков, по их малости, можно пренебречь, то для применения ф-лы (1) нужно только «предсказать» вторую разность f1*, ибо после этого простыми сложениями находится / I затем /;«+1, следовательно Дук может быть вычислено по ф-ле (1); затем образуем у*+1 = Ук+ДУк', имея же у/.+1, найдем fk+i и, если обнаруживается расхождение с «предсказанным» значением /&+х, снова вычисляем Дук по (1) и находим улучшенное значение Ук+i. Этот процесс последовательных приближений с предсказыванием величины /*т по общему ходу ее разностей носит название «экстраполяции». В обычных условиях и при достаточно малом интервале интегрирования h процесс этот сходится весьма быстро. Но если все же прибегать к нему нежелательно, то можно воспользоваться вариантом ф-лы (1), заключающим лишь восходящие разности, уже имеющиеся в теме: Ау^/, 4—1 ’,+-/п + 3/ш. +
Этой ф-лой повидимому впервые пользовался астроном Адамс (1819—92); в наше время акад. А. Н. Крылов извлек ее из мало распространенных работ Адамса по теории капиллярного действия и выяснил ее практическое значение в целом ряде статей и работ. К сожалению коэффициенты при высших разностях в формуле Адамсл убывают довольно медленно, и потому влияние высших разностей здесь более значительно, чем в формуле Гаусса.
Аналогичные методы имеются и для интегрирования уравнений второго порядка; способу Гаусса соответствует метод англ. астронома Cowell’a, способу Adams’a — метод норвежского геофизика Stdrmer’a. В первый из них внесены весьма удачные модификации Б. В. Нумеровым, и этот способ получил у нас за последнее время большое распространение как в работах Астрономического ин-та в Ленинграде по вычислению движения малых планет, так и в Артиллерийском научно-исслед. ин-те для вычисления баллистических траэкторий (впрочем для той же цели применялся и способ StOrmer’a). Обращаемся теперь к той области численного интегрирования, к-рая относится лишь к вычислению определенных интегралов и не распространяется на интегрирование уравнений (механические квадратуры в узком смысле слова). Основное положение, доказываемое в анализе, гласит: если задана функция р(х), то всегда можно подобрать такие числа хх, х2, ...»xnnglt g2, вп, что равенство Ъ J* Р (х) / (х) dx = grf (хх) + g2f (x2) +.. . gnf (xn)
a будет справедливо для всех многочленов, степень к-рых не превосходит числа fe, к-рое называется степенью точности данной формулы. Если же / (х) не есть многочлен, то в левой части появляется еще т. н. остаточный член. Доцустим, что р (х) =1; мы имеем тогда прежде всего формулы Ньютона-Котеса, для применения к-рых нужно иметь заданными (напр. снятыми с чертежа) значения подьинтегральной функции у = / (х) в обеих крайних точках (ординаты уаи уь) и в равноотстоящих точках, симметрично расположенных по отношению к середине интеграла (ординаты Vi, у2,..., Vn-z)> Тогда для вычисления интеграла Ъ I = J* / (х) dx имеем: при двух ординатах
а
, Ъ — а .
/= — 2-(Va+Vfr), при трех ординатах _ Ь — а., .
, .
1= — g-u/rt+4vi-m),
