/(п) и оценить затем разность v>(n) -/(n). Иногда приходится ограничиваться изучением среднего значения: у(1) + у(2)+... Ц-у(п) п
Кроме изучения распределения простых чисел среди всего натурального ряда чисел ставится вопрос об их распределении в нек-рой части натурального ряда, в первую очередь в арифметических прогрессиях. Дирихле аналитическими методами доказал предложение кардинальной важности, что всякая арифметическая прогрессия ах 4 — Ъ, где а и Ь взаимно простые, содержит бесконечное количество простых чисел. Исследования распределения в других последовательностях наперед заданной формы встречают, вообще говоря, громадные трудности; так, до сих пор неизвестно, существует ли бесконечное число простых чисел вида х2 + 1.
Аналитические методы находят большое применение и в аддитивной Ч. т., под к-рой понимают совокупность вопросов, связанных с разделением чисел на слагаемые той или иной природы. Большинство этих задач связано с трудностями, значительно большими/ чем в мультипликативной Ч. т. Такова задача о представимости чисел в виде суммы нек-рого числа n'-ых степеней. Лагранж доказал, что всякое целое положительное число может быть представлено в виде суммы четырех квадратов. Позднее было доказано, что всяцое число есть сумма девяти кубов. Общая задача — доказать, что всякое число может быть представлено в виде суммы определенного числа n'-ых степеней, — т. н. проблема Баринг а, — была решена Гильбертом в 1907.
Второе доказательство этой теоремы, данное англ., математиками Гарди и Литльвудом, интересно тем, что они получают этот результат с помощью нового мощногб метода, применимого к большинству аддитивных проблем.
Этот метод заключается в построении функции, разложение к-рой в степенной ряд имеет коэффициентом при xk число разложений числа k на сумму слагаемых рассматриваемого вида (для проблемы Варинга — число решений уравнения х^+х% + ... + x% = k), и оценки величины этого коэффициента с помощью интеграла Коши. Наиболее простое доказательство теоремы Варинга было опубликовано в 1925 акад. И. М. Виноградовым.
Другая интересная аддитивная проблема, поставленная еще Гольдбахом в переписке с Эйлером, — проблема разложения чисел на сумму простых чисел. Гольдбах высказал предположение, подтверждаемое таблицами, что всякое четное число кроме 2 разлагается на сумму двух простых чисел. Доказать это предложение, представляющее громадные трудности, не удалось однако до сих пор. Только в 1930 Л. Г. Шнирельман доказал, что всякое число есть сумма ограниченного числа простых чисел.
Нек-рый подход к проблеме Гольдбаха дает метод Эратосфенова решета, развитый Бруном, и вышеупомянутые методы Гарди-Литльвуда, устанавливающие связь между проблемой Гольдбаха и свойствами Римановой функции.
Работы Гарди-Литльвуда в этом направлении ясно показали, каких блестящих успехов можно было бы добиться в Ч. т., выяснив расположение нулей Римановой функции.
Большое внимание в последних работах по Ч. т. уделяется проблеме т. н. целочисленных точек. Представим себе на плоскости решотку из всех точек с целыми координатами х и у. Такие точки носят название целочисленных. Задача заключается в определении числа таких точек внутри нек-рой замкнутой выпуклой кривой, размеры к-рой увеличиваются при изменении нек-рого параметра (напр. внутри круга, радиус к-рого увеличивается). Т. к. число целочисленных точек, если не считать точек, расположенных на осях координат, равно числу квадратов нашей сетки, целиком расположенных внутри кривой, то это число — величина, близкая к величине площади, ограниченной длиной кривой. Основная проблема здесь: оце 622
нить возможно точнее разность между этими двумя величинами. Аналогичные задачи ставятся и для пространства. Применение геометрических методов в теории чисел, основанное на представлении систем чисел целочисленными точками’ («геометрия чисел»), дало хорошие результаты в теории Диофантовых приближений и в теории форм. Работы в этом направлении находят применение в кристаллографии (Б. Н. Делоне).
Теория алгебраических чисел — широкая ветвь современной Ч. т, — исследует свойства целых алгебраических чисел. Алгебраическими числами называются корни алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Числа, не алгебраические, т. е. не являющиеся корнями никакого алгебраического уравнения, называются трансцендентными числами (см,). Корни алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, у которых притом коэффициент при старшем члене равен единице, образуют совокупность целых алгебраических чисел. Если взять одно алгебраическое число, то результат всевозможных рациональных действий над этим числом дает совокупность чиоел, называемых областью (телом, полем) данного алгебраического числа (см. Числовое поле). Взаимные свойства целых алгебраических чисел, входящих в одну область, очень похожи на свойства обычных целых чисел. Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел области дают числа той же области. Деление же не всегда возможно внутри области. Т. о. мы приходим к вопросу о делимости внутри области и к понятию простых чисел области, т. е. чисел, не делящихся ни на какие другие числа области, кроме особых чисел, называемых здесь единицами, и чисел, отличающихся от данного числа ца такие единичные множители. Единицами здесь называются такие целые числа Е, что и тоже является целым числом, Таких единиц в области может быть несколько и даже бесконечное множество. Всякое целое алгебраическое число может быть представлено в виде произведения простых чисел той же области, но оказывается, что такое разложение *не всегда является единственным — одно и то же число обычно может быть разложено на простые множители несколькими существенно различными способами, и это делает теорию делимости этих чисел значительно более сложной и многообразной, чем для чисел рациональных. Однако оказывается возможным восстановить однозначность разложения, построив из алгебраи^ ческих чисел данной области образования совершенно нового типа, т. н. идеалы (см.).
Нек-рые проблемы обыкновенной Ч. т. оказываются более доступными, если их формула ровать в более общих терминах алгебраической Ч. т. Так обстоит дело с великой теорией Ферма о невозможности решения уравнения хп + _|_ уп _ %п в целых числах при п > 2.
Всякое неалгебраическое число называется трансцендентным. Первые примеры трансцендентных чисел были получены Лиувиллем, установившим характерные признаки, отличающие алгебраические числа от трансцендентных, при их приближении рациональными дробями. Полученные им трансцендентные числа, так называемые числа Лиувилля, образуют бесконечное множество. В 1873 Эрмитом и в 1882 Линдеманом была доказана трансцендентность чисел е и л — двух важнейших постоян-
