ЧИСЕЛ ТЕОРИЯи их влияние определило характер развития математики в Европе до 17 в* Отдельные задачи Ч. т., носившие гл. обр. характер подражания Диофанту, не имели самостоятельного значения, но обусловили возрождение интереса к Ч. т. и мощный расцвет ее, начинающийся с франц. математика Ферма. Ферма, развивая идеи Диофанта, исследует решения ряда неопределенных уравнений в целых числах, в т. ч. знаменитое уравнение хп+уп=яп, относительно к-рого он утверждает, что оно не имеет решений в целых положительных числах при п>2 (см. Ферма теорема). Доказательство этой теоремы не сохранилось, и математики до сих пор не могли его найти. Далее Ферма доказывает, что всякое простое число вида 4 п+1 есть сумма двух квадратов и дает основной результат зарождающейся теории сравнений (см.) — теорему, утверждающую, что число вида ар — 1—1 всегда делится на р, если число простив и если а не делится на р. Вскоре после Ферма этот результат был . обобщен Эйлером. Эйлер рассматривает арифметическую функцию <р(п), обозначающую число чисел меньших, чем п, и взаимно простых с п, т. е. не имеющих с п ни одного общего делителя кроме 1 [напр. ^(9) = 6, р(10) = =4] и доказывает, что 1 всегда делится на п, если а и п числа взаимно простые. Теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера и получается из нее, когда п простое число.
Среди многих бесконечных произведений, рассмотренных Эйлером, одно играет особенно важную роль в теории чисел. Это соотношение ill 1 — у х х---- - х ... х х ...=1 41—53 1-^ + 28 +
+ ••• + ^8 + — »
где произведение слева распространено на все простые числа, р, а сумма справа — на все целые положительные числа, — чшраведиво при любом s > 1. Выражение, стоящее справа, представляет собой аналитическую функцию от s, изученную подробно Риманом, и называется Римановой функцией £(*). В наст, время эта функция и это тождество являются основой важнейших применений анализа к Ч. т.
Однако родоначальником Ч. т. в ее современном понимании является Гаусс, к-рый в своих «Disquisitiones arithmeticae» создал аппарат теории сравнений. Если делить различные числа на одно и то же число к, то естественно объединить в одну группу все числа, имеющие один и тот же остаток при таком делении. Всякие два числа а и &, входящие в одну группу, называются сравнимыми между собой по модулю к, и Гаусс записывает это так: a^&(mod-&); при этом разность а — & очевидно делится на к нацело. Рассмотрение сравнений с неизвестными величинами ставит вопрос о нахождении этцх неизвестных, т. е, о решении сравнений.
Эта задача по своей постановке и методам решения имеет много общего с задачей решения алгебраических уравнений, являясь по существу задачей решения неопределенных уравнений в целых числах. Так напр., сравнение первой степени aa?=<?(mod — 6) равносильно неопределенному уравнению ах — Ъу=с. Теория сравнений позволила Гауссу подвергнуть систематическому исследованию общую теорию неопределенных уравнений второй степени, к-рые всегда могут быть приведены к виду: ах* + Ьху+ +су2=т. Дальнейшее развитие в этом направлении привело к созданию современной теории форм (см.). Общая арифметическая теория форм ставит себе задачей изучение форм различ*пых степеней с различным числом переменных с точки зрения представимости целых чисел числами данной формы. Со времени Гаусса Ч. т. развивается в один из наиболее богатых по содержанию отделов математики. Вместе с тем целый ряд ее проблем, кажущихся на первый взгляд простым, не решен до сих пор. Эта кажущаяся простота обусловлена тем, что проблемы Ч. т. могут быть формулированы в простых и всем известных терминах, требуя вместе с тем для своего решения глубочайшего анализа сложной структуры натурального ряда чисел.
Характерным для современной Ч. т. является широкое внедрение в нее методов анализа.
Несмотря на то, что целые числа образуют дискретное множество, изучение их требует введения непрерывных процессов математического анализа: бесконечных рядов, действительных и комплексных интегралов, различного рода специальных функций.
Наибольшее применение аналитические методы находят в так называемой мультипликативной Ч. т. (теории делимости и разложения на множители). Основное положение мультипликативной теории чисел состоит в том, что всякое число кроме 1 может быть представлено в виде произведения простых чисел, причем существует только одно такое разложение. Простые числа являются таким образом тем базисом, из которого с помощью действия умножения получаются’все остальные числа.
Простые числа расположены в ряду всех натуральных чисел чрезвычайно неравномерно^ и давно было замечено, что по мере удаления от начала натурального ряда простые числа встречаются все реже и реже. Поэтому естественно возникает вопрос о густоте их расположения.
Обозначая через п(п) число простых чисел, не превосходящих п, ставят задачу — возможно точнее изучить эту сложную арифметическую функцию, т. е. найти аналитическое выражение. имеющее примерно такой же характер изменений. Таким является например выражение которое при увеличении числа п сравнительно мало отличается по величине от л (п).
Первый результат в этом нацравлении был получен Чебышевым, доказавшим, что Ci < л(п) < С2, где lg Я lg п числа Ci и С положительны и Ci меньше, а С2 больше единицы. В 1896 Гадамар доказал, что отношение функций л(п) й при безграничном увеличении п стремится к единице. Это доказательство основано на применении Эйлерова соотношения, указанного выше, и изучении поведения Римановой функции С(з) в комплексной области.
Дальнейшие работы в этой области давали оценку отклонения от я(п), т. е. оценку порядка роста разно/
V
ft
п (и) -.! g(7l)
Еще более близко к л (и) подходит функция Li (п) = п
Г dx _ = I : — . В последнее время было доказано, что это вы — СТИражение при увеличении п становится то больше, то меньше л(п), причем отношение между ними тоже стремится к единице. Две функции у(п) и f(n), отношение между которыми при увеличении п стремится к единице, называются в математике взаимно асимптотическими или эквивалентными, и этот факт записывают так: п Т1 (* dx v>(n) ** / (n). Т. о. мы имеем л(п) ~ и я(п) J 2
Аналогичные задачи ставятся и при изучении других возрастающих арифметических функций, т. е. функций, определенных только для целых значений аргумента.
К данной арифметической функции (и) стараются подобрать асимптотически близкую аналитическую функцию
