ФУНКЦИЯса, была посвящена значительная часть научного творчества Бореля, и в этой области им были высказаны многие чрезвычайно глубокие идеи, легшие в основу почти всех дальнейших работ его последователей в этом направлении.
Основным пунктом возражений Бореля против определения Вейерштрасса было указание на совершенную искусственность границы «естественной области существования аналитической однозначной функции». Граница эта в самом деле естественна, если ее образуют конечное или счетное число точек. Но если эта граница является замкнутой линией, то «очень часто, — замечает Борель, — граница эта является совершенно искусственной, так как аналитическое выражение, дающее нам функцию с такой границей, оказывается равномерно сходящимся и вне ее и, значит, дающим некоторую наружную функцию. Обе эти функции, внутренняя и наружная, с точки зрения Вейерштрасса, являются существенно различными, так как они непродолжаемы одна в другую.;Но по существу это есть единая функция, только разрезанная особой линией на две части, так как можно найти класс таких аналитических выражений, что если одна часть удовлетворяет алгебраическому или дифференциальному соотношению, то и’ другая — тоже».
Аналитические выражения, к-рые имеет в виду Борель, суть ряды рациональных дробей V Ап
& 2 — ап '
где ряд 2|AW| есть сходящийся ряд, а особые точки ап («полюсы аналитического выражения») всюду плотны на рассматриваемой, замкнутой линии или бесконечно накопляются вблизи нее.
Возражения против этой попытки Бореля были сделаны Пуанкаре и Вольфом. Первый указал, что всегда можно разрезать рассматриваемую замкнутую линию на такие две — части А и Ви определить такие две аналитические Ф.
(с точки зрения Вейерштрасса) Ф^я) и Ф2(^), что Ф1(#) будет аналитической вне А, Фв(#) будет аналитической вне В и что несмотря на это Ф1(£) + Ф2(£) ==Pi(£) внутри кривой и Ф1(^) + -h Ф2^)=Е^) вне кривой, где Fi(^) и Р2(я) суть две произвольные Ф., из к-рых одна аналитическая внутри кривой, другая аналитическая вне кривой, причем обе непродолжаемы нигде через кривую. Вольф же построил такой ряд V * — CLn, к-рый сходится к нулю внутри кривой, причем полюсы ап скоплялись в кривой снаружи и ряд £|сходился. После возражений Пуанкаре Борель изменил свою теорию, прибегнув к звездным разложениям Миттаг-Леффлера. Звездное разложение МиттагЛеффлера представляет собой обобщение ряда Тейлора, т. к. n-й член его есть линейное выражение от первых п коэф-тов а0, obi, a2, ..., ап_г ряда Тейлора. Борель высказал убеждение в том, что понятие аналитической функции, как его дал Вейерштрасс, еще сильно привязано к частному классу аналитических выражений, именно — рядам Тейлора, и что если за «элемент функции» взять не ряд Тейлора К(х — а), а звездное разложение Миттаг-Леффлера, то по лучам звезды Миттаг-Леффлера можно проскользнуть через полюсы аналитического выражения, всюду плотно лежащие на особой линии, во внешнее пространство, если звездное разложение Миттаг-Леффлера было составлено для внутренней точки кривой. Надо иметь в виду, что область сходимости звездного разложе 332
ния Миттаг-Леффлера для аналитической функции Д#) получается так: зажигают источник света в начальной точке а разложения МиттагЛеффлера М(х — а), а во все особые точки разлагаемой аналитической Ф. вбивают в плоскость непрозрачные колышки: тогда освещенные места («звезда») и будут областью сходимости звездного разложения М(х — а) к f(z). Вычисления Бореля, казалось, подтвердили его идею, т. к. звездное разложение М(х — а) для внутренней точки а оказалось сходящимся на бесконечном множестве лучей звезды и именно к величине наружной Ф. на этих лучах. Но Пенлеве сделал в своей блестящей, детальной и чрезвычайно тонкой работе возражение Борелю, указав ему, что это может быть и случайностью, т. к. имеются звездные разложения Миттаг-Леффлера, сходящиеся на отрезке луча к нулю без того, чтобы все разложение изображало нуль.
Тогда Борель сделал третью, на этот раз уже удавшуюся попытку, предположив ряд 2Щ| чрезвычайно сильно сходяп1 щимся (не слабее, чем е~'е ). Это предположение он связал с «моногенностью на множестве» [т. е. существованием Д(#) по множеству]. Новая теория Бореля оказалась выдержавшей испытание, и для известного класса Ф. Дя) (в смысле Дирихле для комплексного переменного) звездные разложения непременно должны сходиться к Д#), и следовательно знание величины Ф. и ее производных вполне определяло Ф. в еещелом. Это подавно справедливо тогда, когда Ф. известна на каком-либо отрезке. Несколько поздно для дела оправдание третьей теории Бореля пришло от московских работ (Привалов, Лузин).
Именно было доказано, что аналитическая Ф. вблизи спрямляемой кривой, уничтожающаяся почти всюду на ней при стремлении к ее точкам по касательным путям, необходимо должна быть тождественной нулю. А так как наружная Ф. Бореля почти всюду по некасательным путям принимает на особой линии (предположенной спрямляемой) те же самые значения, что и внутренняя функция, то отсюда следует, что такая наружная функция может быть только одна. Эта единственность подтверждает идеи Бореля об органической связи внутренней и внешней непродолжаемых функций.
Совсем на иной путь вступили Данжуа, С. Н. Бернштейн и Карлеман, отыскивая наиболее естественное обобщение понятия аналитической функции. Большая оригинальность их исследований заключается в стремлении оставаться на почве одного только действительного переменного, не привлекая к рассмотрениям комплексных чисел.
Отправной пункт С. Н. Бернштейна — его результаты о наилучшем приближении аналитических Ф.; основной теоремой, послужившей исходным пунктом, является следующая: если Дж) голоморфна во всякой точке отрезка [а<ж< &], тогда наилучшее приближение Еп f Ф.
f(x) помощью многочлена n-й степени должно удовлетворять неравенству Еп f<M-Qn, r%e q< 1.
С. Н. Бернштейн называет Ф. Дж) квазианалитической (Р), если имеется такая бесконечная последовательность целых положительных ni<n2<...<?^<. для. к-рых удовлетворено неравенство E„Kf<Me к. Ф. эти оказываются замечательными, т. к. фундаментальная теорема Бернштейна гласит: всякая
