щих последствий. Но если Д. Бернулли понимал значение и смысл открытого им принципа сложения колебаний, то математически он не мог его обосновать, чем вызвал живейшие возражения как Д’Аламбера, так и Эйлера.
Сначала Эйлер указал, ^то Д. Бернулли сам не замечает того совершенно, неприемлемого следствия, к-рое содержится в его идеях и согласно к-рому совершенно произвольная Ф. переменного х изобразима рядом синусов кратных дуг.
По мнению Эйлера, тогда Ф. была бы нечетная и периодическая. Мы видим, что Эйлер снова неявно опирается на тот принцип, в силу к-рого два аналитических выражения, численно совпадающих в каком-нибудь отрезке, должны совпадать всюду. Д. Бернулли ответил на это указанием, что его формула содержит бесчисленное множество неопределенных коэффициентов, к-рыми всегда можно распорядиться таким образом, чтобы заставить его кривую пройти через сколько угодно точек заданной кривой и тем самым получить сколько угодно сильное приближение. Относительно возможности упущения из этого процесса той или иной отдельной точки Д. Бернулли ссылается на возражения, к-рые Д’Аламбер делал раньше Эйлеру. Эйлер на это ответил, что подобрать коэффициенты желаемым для Д. Бернулли образом требует, чтобы отношение имело опреде
весьма трудно, если не невозможно. С своей стороны Д’Аламбер заявил, что он вполне соленную (конечную) величину, и, значит, чтобы гласен с Эйлером в его возражениях Д. Беркривая обладала определенной кривизной в нулли и что он идет дальше, т. к. думает, что этой точке. В особенности это относится к кон
не всякая (аналитическая) периодическая функцам струны, где в силу = 0 радиус кри-. ция может быть изображена рядом синусов, визны должен быть бесконечно велик. Нали
что всякая Ф., изобразимая рядом синусов, чие же всяких точек искусственных соединений должна обладать непрерывной — кривизной и разнородных кривых, вроде угловых точек, де
что совпадение обеих кривых в бесконечно мнолает в них силу неопределенной и, значит, дви
гих точках еще не делает их тождественными. жение невозможным: «сама природа здесь оста
Из характера спора между Д’Аламбером и навливает вычисления». Что же касается до Д. Бернулли легко усмотреть, что первый был того, как на деле будет двигаться такая состав
по современной терминологии «арифметизатоная струна, — «оставим физике позаботиться о ром» математического анализа; второй же был себе самой». Эйлер, уклоняясь от продолжения физиком и смотрел на вещи с этой точки зрения.
Выступление Лагранжа. В то вреполемики, ограничивается указанием на то, что возможно создать теорию дифференциаль
мя, как знаменитейшие математики спорили о ных уравнений, содержащих такйе «непра
математических принципах, выдвинутых провильные» или «смешанные» функции. На возра
блемой звучащей струны, на сцене пбявляется жения Д’Аламбера он замечает, что его ре
неизвестный никому молодой человек, Лагшение, употребляющее такие «неправильные» ранж, сразу обративший’на себя внимание свофункции, подтверждает например подмеченный ими «ловкими» вычислениями (1759). Лагранж Д. Бернулли факт распространения вдоль внимательнейшим образом изучил состояние струны сотрясений. Д’Аламбер, настаивая на проблемы звучащей струны и занял определенсвоей точке зрения, повторяет, что наличие на ную позицию в этом споре: он всецело присоеструне угловой точки делает решение не
динился к Эйлеру и стал в оппозицию К Д ’ Аламберу и Д. Бернулли. Желая доказать правоту возможным.
Идеи Д. Бер нулли. Совершенно иначе Эйлера, Лагранж ставит на первый план проподошел к проблеме Д. Бернулли. Он уже имел блему интерполирования/Беря однек-рый опыт в изучении вопросов акустики и ну из «неправильных» функций Эйлера, т. е. начал понимать, что звучащая струна имеет беря просто графически данную кривую, вобесчисленное множество главных колебаний. обще состоящую из кусков совершенно различИз исследования систем дискретных точек он ных линий, Лагранж делит ось абсцисс на мавывел заключение, что наиболее общее лые равные отрезки. Затем, проводя в точках движение струны можно получить деления перпендикуляры и отмечая т.’ о. последовательность точек на графической кривой, сложением главных колебаний.
Идеи Д. Бернулли созрели в 1753 и заключе
Лагранж ищет интерполяционную кривую, проние, к к-рому он пришел, было то, что ур-ие ходящую'через отмеченные точки. Интерполяцию Лагранж предпринимает линейную у = a sin х cos t + р sin 2х cos 2t + '
тригонометрическую с ограниченным + у sin3#cos3£... числом членов, откуда следовало, что его инохватывает как решение Д’Аламбера, так и терполирующие кривые были «законами» и для Эйлера. Таким образом Д. Бернулли открыл Д’Аламбера, т. к. были даны простыми аналиважнейший принцип математической физики, тическими выражениями. Разрешив т. о. ини ему принадлежит честь не только его форму
терполяционную задачу, Лагранж ищет решелировки, но и ясного понимания далеко иду
ния проблемы звучащей струны для’ и нт е р -
^более общего аналитического выражения для количества у, как только предполагая его функцией от х и t; но при этом предположении проблема звучащей струны имеет решение лишь тогда, когда различные фигуры этой струны содержатся в одном и том же уравнении». Д’Аламбер заключает, что найденное им самим и Эйлером решение только тогда имеет смысл, когда заданная функция f(x) есть периодическая функция. Эйлер возражает на это вопросом: «Если найденное решение в тех исключительных случаях, когда фигура струны не может быть охвачена одним уравнением, негодно, то что тогда называть решением?» Он настаивает на том, что «данная им геометрическая конструкция всегда справедлива, какова бы ни была начальная фигура струны», «что различные части начальной. кривой вовсе не связаны уравнением, а просто соединены их описанием» и что «знание геометрической линии совершенно достаточно для знания движения, без того, чтобы нужно было прибегнуть к вычислениям». Реплика Д’Аламбера не заставила ожидать себя. Настаивая на своем понимании решения, он отмечает тот часто ускользающий факт, что уже самое над*у д*и личие дифференциального уравнения =
